【數學建模】備戰美賽之傳染病模型

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傳染病模型

放一個鏈接：[關於傳染病][ https://www.zhihu.com/question/367466399 ]

傳染病初期

特點：

沒有考慮接觸到的人中還有一部分病人，所以並不會全部被感染

1. 已感染人數（病人）
   $i(t), i(0)=i_0\tag1$

2. 每個病人每天有效接觸（足以使人致病）人數爲
   $\lambda\tag2$

3. 根據(1)(2)可以建立模型：
   $i(t+\Delta t)-i(t)=\lambda i(t)\Delta t\tag3\\ 其中\Delta t爲時間段$

4. 等式兩邊同時除以\Delta t
   $\frac{i(t+\Delta t)-i(t)}{\Delta t}=\lambda i(t)\tag4$

5. 由導數定義有
   $i'(t)=\frac{di}{dt}=lim_{t\to \Delta t}\frac{i(t+\Delta t)-i(t)}{\Delta t}$

6. 同時，取\Delta t = 1天
   $\frac{di}{dt}=\lambda i\tag{5}$

7. 由(1)(5)兩式可得最終的模型：
   $i(t)=i_0e^{\lambda t}\tag6$

logistic模型

特點：

區分已感染者（病人）和未感染者（健康人），但沒有考慮病人可以治癒。

1. 假設有
   $總人數:N\\ 病人比例:i(t)\\ 健康人比例:s(t)\\ 被傳染概率爲:k\\ 存在初始條件:s(t)+i(t)=1 \tag1$

2. 每個病人每天有效接觸人數爲
   $\lambda \tag2$

3. 建模得到
   $N[i(t+\Delta t)-i(t)]=k[\lambda s(t)]Ni(t)\Delta t\tag3$

4. 兩邊同時除\Delta t可以得到
   $\frac{di}{dt}=lim_{t\to \Delta t}\frac{i(t+\Delta t)-i(t)}{\Delta t}=k\lambda s(t)i(t)\tag4$

5. 由(1)(4)式可得
   $\begin{cases} \frac{di}{dt}=\lambda i(1-i) \\i(0)=i_0 \end{cases}$

6. 最終得到模型（logistic模型）
   $i(t)=\frac{1}{a+(\frac{1}{i_0}-1)e^{(-\lambda t)}}$

7. 傳染病高潮到來的時刻t_m
   $t_m=\lambda^{-1}ln(\frac{1}{i_0}-1)$

SIS模型

特點：

病人治癒爲健康人，但可再次被感染。

1. 假設有
   $總人數:N\\ 病人比例:i(t)\\ 健康人比例:s(t)\\ 被傳染概率爲:k\\ 存在初始條件:s(t)+i(t)=1\\ 病人每天治癒的比例爲:\mu \tag1$
   特殊定義，接觸數\sigma：一個感染期內每個病人的有效接觸人數。
   $接觸數:\sigma = \frac{\lambda}{\mu}$

2. 建模得到
   $N[i(t+\Delta t)-i(t)]=\lambda Ns(t)i(t)\Delta t-\mu Ni(t)\Delta t \tag2$

3. 化簡
   $N[i(t+\Delta t)-i(t)]=\lambda Ns(t)i(t)\Delta t-\mu Ni(t)\Delta t$
   $\\i(t+\Delta t)-i(t) =\lambda s(t)i(t)\Delta t-\mu i(t)\Delta t$
   $\\\frac{i(t+\Delta t)-i(t)}{\Delta t} = \lambda s(t)i(t)-\mu i(t)$
   $\\\frac{di}{dt}= \lambda s(t)i(t)-\mu i(t)$

4. 最終得到
   $\begin{cases} \frac{di}{dt}= \lambda i(t)(1-i(t))-\mu i(t) \\ i(0)=i_0 \end{cases}$

SIR模型

特點：

傳染病有免疫性，病人治癒後即移出感染系統，稱爲移出者

1. 假設
   $總人數:N, 病人比例:i(t), 健康人比例:s(t), 移出者比例:r(t), \\病人日接觸率:\lambda,日治癒率:\mu,接觸數:\sigma=\frac{\lambda}{\mu} \tag1$

2. 存在初始條件
   $s(t)+r(t)+i(t)=1 \\i_0+s_0=1 \tag2$

3. 建立模型
   $\begin{cases} N[i(t+\Delta t)-i(t)]=\lambda Ns(t)i(t)\Delta t-\mu Ni(t)\Delta t \\N[s(t+\Delta t)-s(t)]=-\lambda Ns(t)i(t)\Delta t \end{cases} \tag3$

   第一個方程：病人在\Delta t時間段的增加數=\Delta t時間段被感染人數-\Delta t時間段治癒的病人數（移出者數）。
   第二個方程：健康人在\Delta t時間段的增加數= - \Delta t時間段被感染人數（新治好的變成了移出者）。

4. 最終得到得到
   $\begin{cases} \frac{di}{dt}=\lambda si-\mu i \\\frac{ds}{dt}=-\lambda si \\i(0)=i_0,s(0)=s_0 \end{cases}$

還可以添加隔離等變量。

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