紅黑樹，看不懂你找我

一：什麼是紅黑樹

紅黑樹是AVL樹的一種流行變種，是具有以下五個特點的二叉查找樹：

1. 每一個節點或者着成紅色，或者着成黑色
2. 根是黑色
3. 每個葉節點Nil是黑色
4. 如果一個節點是紅色的，那麼它的子節點必須是黑色的
5. 每一條從某節點到某Nil指針的路徑必須包含相同數目的黑色節點

二：關於紅黑樹的一般操作

對紅黑樹操作，最困難的就是保持上述的紅黑樹性質中的紅色標記部分。

1.查找操作

紅黑樹是二叉查找樹，所以其查找操作與一般的二叉查找樹相同

• 令根節點爲當前節點
• 當前節點爲Nil，返回Nil
• 要找的值等於當前節點，返回當前節點
• 要找的值大於當前節點， 令右兒子爲當前節點，重複步驟2
• 要找的值小於當前節點，令左兒子爲當前節點，重複步驟2

操作的時間複雜度O(logN)

2. 插入操作

當我們想向樹中插入一個新節點時，通常把這個節點作爲葉節點插入。

Part1：
假設把這個點塗成黑色，那完了，肯定違反了條件5，因爲本來任意的節點到某Nil指針的路徑中黑色節點數是相同的，現在加上黑色節點的這條路徑黑色節點數度肯定會+1，於是原來的條件被破壞了，因此，新加的節點必須被塗成紅色。

Part2:
如果新插入的節點的父節點是黑色的，那麼直接插入新的紅節點就完事了

Part3:
如果新插入的節點的父節點是紅色，那麼條件4就被破壞了，這種情況下，我們必須在保持條件5不被破壞的同時，利用改變節點顏色以及樹的旋轉來滿足所有條件。

2.1 新節點：我是紅色的，我爹是紅色的，我叔叔是黑色的

• 設置P爲黑色
• 設置G爲紅色
• 進行右單旋轉

• 設置X爲黑色
• 設置G爲紅色
• 進行右雙旋轉

還有對稱的兩種情況，操作也是對稱的

2.2 新節點：我是紅色的，我爹是紅色的，我叔叔也是紅色的

• 把G節點設置爲紅色
• 把P節點設置爲黑色
• 把S節點設置爲黑色
  
• 把G節點設置爲紅色
• 把P節點設置爲黑色
• 把S節點設置爲黑色

這時候，如果G的父節點也是紅的，那麼G的顏色翻轉的操作就會影響性質4，於是我們對G節點以及其父節點GP和父節點的兄弟節點GPS進行2.1所示的旋轉操作。

注意如果G的父節點GP爲紅色，G父節點的兄弟節點GPS肯定不能爲紅色，只能爲黑色，因爲在紅黑樹中，不可能出現出現深度小於樹的總深度且雙兄弟都爲紅的情況，這種情況在其他的插入或刪除過程中已經消除了。

GP剛好爲根結點時，那麼根據性質2，我們必須把GP重新設爲黑色，那麼樹的紅黑結構變爲：黑黑紅。換句話說，從根結點到葉子結點的路徑中，黑色結點增加了。這也是唯一一種會增加紅黑樹黑色結點層數的插入情景。

還有對稱的兩種情況，操作也是對稱的

難點來了，難點來了！！

其實不難

3.刪除操作

刪除操作一直一來是樹這種ADT的難點所在

一般二叉搜索樹的刪除操作：

• 該節點爲葉節點的情況：可以直接刪除，將其父節點的兒子指針設爲Nil
• 該節點只有一個非空子節點：可以直接刪除，將其父節點的兒子指針指向其唯一兒子
• 該節點有兩個非空子節點：用該節點左子樹的最大節點或者右子樹的最小節點替換該節點，然後刪除對應的左子樹最大節點或者右子樹最小節點，最終可以回到前兩種情況。

好，到這裏你肯定還是明白的對吧

現在考慮紅黑樹的刪除操作。

注意：
根據一般二叉搜索樹的刪除操作來看，我們要刪除的節點其實不一定是最終從圖中移出去的節點，稱最終從圖中移出去的節點爲替代點，我們先從右子樹的最小節點(或左子樹的最大節點)找到我們的替代點，與刪除點的值交換，但是顏色都不變，然後再刪除替代點，然後對樹的性質進行恢復。而現在這些替代點都是一些樹的末節點（區別於葉節點，我們現在將Nil節點視爲黑色葉節點），刪除操作便會簡化許多，並可以歸納爲像插入那樣的幾個類別。當然了替代點和我們要刪除的點也有可能是同一點，但處理方法是一樣的。

我們雖然刪除了替代點，但是我們對樹進行恢復時，還是會將該替代點放在樹中參與恢復，恢復完成後再移掉。

在本文中，示例都默認是選擇右子樹的最小節點作爲真正刪除點，也可以選擇左子樹的最大節點

3.1替代點是紅色的

直接從樹中去掉即可，不會影響紅黑樹的性質，算法直接結束

不會出現替代點爲紅色且有兒子爲非葉子節點的情況，所以這種情況是最簡單的

3.2替代點是黑色的

替代點是黑色，那麼刪除之後樹的性質就被破壞了，需要進行修復

3.2.1 有一個兒子爲且必須爲紅色時

當替代節點只有一個兒子且爲紅色時
直接用它的紅色兒子節點取代它，並將顏色改爲黑色，這樣所有經過替代節點的路徑都將經過他的兒子，黑色高度不變。

注意這跟上面圖不一樣，這張圖D節點是替代節點

不可能存在只有一個兒子且兒子爲黑色的情況，那樣本身就是不平衡的

3.2.2 有兩個黑色兒子

當替代點是黑色的且有兩個黑色兒子(可以爲葉節點Nil)時，那他肯定有兄弟，那麼又可以分爲其他幾類

• 替代點是黑色，其兄弟節點是紅色
• 替代點是黑色，其兄弟節點是黑色

3.2.2.1 替代點的兄弟節點是紅色

• 將G節點也就是替代點的父節點設置爲紅色，
• 兄弟節點S設置爲黑色
• 然後進行向左單旋轉，

現在可以直接刪掉D了嗎？(以下都默認標識D爲替代點) $\hspace4ex 不行，tan90\degree$

這個操作不改變任何路徑的黑色高度，這時候刪去D肯定會變的不平衡，我們只是把情況變爲了兄弟節點爲黑色的情況，也就是下面將要敘述的情況，我們接下來需要重新進入算法，進一步處理

3.2.2.2 替代點的兄弟節點是黑色

替代點D與其兄弟節點S都是黑色的，所以D的父節點顏色是不確定的，用綠色表示

又分爲以下幾種情況

3.2.2.2.1 當兄弟節點的兩個兒子也都是黑色

PS：C1、C2可爲Nil

• S節點顏色變爲紅
• G節點顏色變黑
• 把G作爲新的替代點進行下一輪操作

假設G一開始是黑色的，這個操作過後，所有一開始經過S節點的路徑黑色高度-1，那麼在刪除D節點後，所有經過D節點的路徑黑色高度也會-1，這棵子樹大家黑色高度都減一，結局竟該死的甜美，但是經過G的比不經過G的黑色高度減一了，所以再在G上重新平衡處理

假設G一開始是紅色的，這個操作後，所有一開始經過S節點的路徑黑色高度不變，經過D的路徑黑色高度+1，那麼在刪除D後，所有經過D節點的路徑黑色高度又變回來了，結局竟還是該死的甜美，經過G爲根的子樹已經平衡了，再在G上重新平衡處理

注意當G是樹的根時，就表示我們已經做完了，我們從所有路徑去除了一個黑色節點，所有性質在上溯過程中都保持着。

3.2.2.2.2 當兄弟節點的左兒子是紅色的，右兒子是黑色

• C1設置爲黑色
• S設置爲紅色
• 對S進行向右單旋轉

這樣的操作不改變任何路徑的黑色高度，本來的平衡狀態不變，所以刪除D之後就破壞了原先的條件，還要進行自平衡變換，此時成了下面一種情況繼續處理

3.2.2.2.3 當兄弟節點的右兒子是紅色的，左兒子隨意

• 交換G和S的顏色
• 設置兄弟節點的右兒子C2爲黑色
• 進行向左單旋轉

該操作使所有變化前經過S節點的路徑黑色高度都不變，經過D的路徑黑色高度+1，在刪除D後，所有經過G節點的路徑都不變，達到平衡

說白了刪除就是不斷遞歸變換直到滿足替代點的刪除條件。

例子：刪除30根節點

練習一下吧，這裏有個在線紅黑樹工具，戳

三：漸進邊界的證明

包含n個內部節點的紅黑樹的高度是$O(logn)$

定義：

${\displaystyle h(v)}表示以節點{\displaystyle v}爲根的子樹的高度。$
${\displaystyle bh(v)}表示從{\displaystyle v}到子樹中任何葉子的黑色節點的數目$
$（如果{\displaystyle v}是黑色則不計數它，也叫做黑色高度）。$

$引理：以節點{\displaystyle v}爲根的子樹有至少2^{bh(v)}-1個內部節點。$
$引理的證明（通過歸納高度）：$

$歸納假設：$
$如果v的高度是零則它必定是NIL，因此{\displaystyle bh(v)=0}{\displaystyle bh(v)=0}。所以：2^{{bh(v)}}-1=2^{{0}}-1=0$

$如果h(v)=k，有2^{bh(v)}-1個內部節點成立$
$於是h(v')=k+1$
$因爲v'有h(v')>0 \\所以它是個內部節點。同樣的它有的兩個兒子，其黑色高度要麼是bh(v')要麼是bh(v')-1（依據v'是紅色還是黑色）。通過歸納假設每個兒子都有至少2^{{bh(v')-1}}-1個內部接點，所以v'有：$
$2^{bh(v')-1}-1+2^{bh(v')-1}-1+1=2^{bh(v')}-1個內部節點。$

$使用這個引理我們現在可以展示出樹的高度是對數性的。\\ 因爲在從根到葉子的任何路徑上至少有一半的節點是黑色(根據紅黑樹性質4)，\\根的黑色高度至少是 {\frac {h(root)}{2}}通過引理我們得到：$

${\displaystyle n\geqslant 2^{\frac {h(root)}{2}}-1\leftrightarrow \;\log {(n+1)}\geqslant {\frac {h(root)}{2}}\leftrightarrow \;h(root)\leqslant 2\log {(n+1)}}n\geqslant 2^{{{\frac {h(root)}{2}}}}-1\leftrightarrow \;\log {(n+1)}\geqslant {\frac {h(root)}{2}}\leftrightarrow \;h(root)\leqslant 2\log {(n+1)}$

$因此根的高度是{\displaystyle {\text{O}}(\log n)}$