程序設計--素數問題

素數–一個大於1的自然數，除了1和它本身外，不能整除以其他自然數，因其特殊的性質，被廣泛用於密碼學領域，在程序設計競賽及各大公司的面試中也經常出現，今天和大家分享幾道有關素數的基礎問題。

素性測試

問題描述：給定整數num，判斷num是不是素數。

由素數的定義，我們知道一個素數只能擁有兩個約數，即1和它本身，又因爲一個數的約數不能大於它本身，由此只要我們只要遍歷2到num-1，找到除此之外的約數即可判斷其不爲素數，否則就判斷它是一個素數。這樣遍歷時間複雜度爲O（n）。但是，約數是相互對稱的，即n1是num的約數，則num/n1也是num的約數，這樣我們其實搜索2到sqrt（num）（定義sqrt（num）爲num開根號）即可。這樣時間複雜度爲O(sqrt（n)）。
代碼：

#include<iostream>

bool is_prime(int num){
    bool result = true;
    if (num<2)
    {
        result = false;
    }
    for (int i = 2; i*i <= num; i++)
    {
        if (num % i == 0)
        {
            result = false;
            break;
        }
    }
    return result;
}

int main(){
    int num = 0;
    printf("請輸入數字：\n");
    scanf_s("%d", &num);
    if (is_prime(num))
        printf("Yes\n");
    else
        printf("No\n");
    system("pause");
    return 0;
}

費馬檢測

這同樣是一個判斷素數的方法，費馬檢測是基於費馬小定理的檢測方法，是一種基於概率的檢測方法。

費馬小定理：
假如p是質數，且Gcd(a,p)=1，那麼 a^(p-1) ≡1（mod p）。即：假如a是整數，p是質數，且a,p互質(即兩者只有一個公約數1)，那麼a的(p-1)次方除以p的餘數恆等於1，即a^(p-1) % p = 1。

其算法的基本思想爲：
如果p爲奇數，隨機的在2到p-1之間選擇一個數進行檢測，若不滿足上式，則p一定不是素數；若滿足上式，則p有可能是素數。p爲偶數時，除2之外均不是素數。

代碼：

#include<iostream>

/*
採用反覆平方法來計算 a^(p-1) mod p
*/
int cal_fermat(int a, int p){
    int n = p-1;
    int result = 1;
    int base = a;
    while(n>0){
        if (n&1)
        {
            result = result*base%p;
        }       
        base= base*base%p;
        n>>=1;
    }
    return result;
}

/*
費馬測試
*/
bool prime_fermat(int num){
    if (num == 2){
        return true;    
    }
    if (num < 2){
        return false;
    }
    if (!(num % 2)){
        return false;
    }

    int test = 0;
    while (test < 2){
        test = rand()%num;
    }
    return 1==cal_fermat(test, num);
}

int main(){
    int num = 0;
    printf("請輸入數字：\n");
    scanf_s("%d", &num);
    if (prime_fermat(num))
        printf("Yes\n");
    else
        printf("No\n");
    system("pause");
    return 0;
}

對於大部分a小於p，該算法是正確的，費馬檢測是一個相對可靠的算法，而且在實現大數判斷素數時可以提供相對高的效率來工作。但是該算法並不是嚴格正確的，事實上存在着這樣一些數，它可以滿足所有的a值但卻不是一個素數，這樣的數我們稱爲Carmichael數。

埃式篩法

問題描述：給定整數n，請問n以內有多少個素數

首先，我們來遍歷2到n的所用整數，並使用布爾類型的數組prime_bool來保存每一個數所對應的位置是否爲素數（在初始化時我們將數組中2到n定義爲true）；接下來當我們訪問到一個素數時，將其記錄下來，並把其在n範圍內的倍數全部置爲非素數（一個素數不可能含有除1和它本身之外的約數）。
代碼：

#include<iostream>
#define MAX_N 10000

int prime_num[MAX_N];//記錄素數
bool prime_bool[MAX_N+1];

int prime_count(const int end){
    for (int i = 2; i <= end; i++)
    {
        prime_bool[i] = true;
    }
    int count = 0;
    for (int i = 2; i <= end; i++)
    {
        if (prime_bool[i])
        {
            prime_num[count++] = i;
            for (int j = i+i; j <= end; j+=i)
            {
                prime_bool[j] = false;
            }
        }
    }
    return count;
}

int main(){
    int num = 0;
    printf("請輸入數字：\n");
    scanf_s("%d", &num);
    int c = prime_count(num);
    printf("共有%d個素數\n", c);
    printf("所有的素數：\n");
    for (int i = 0; i < MAX_N; i++)
    {
        if (prime_num[i] == 0)
            break;
        if (i % 8 == 0)
            printf("\n");
        printf("%-8d ", prime_num[i]);
    }
    printf("\n");
    system("pause");
    return 0;
}

區間篩法

問題描述：給定區間[l, r]，問其中含有多少素數

我們知道，若要判斷r是否爲素數，只需遍歷2到sqrt(r)即可，這樣我們只需在區間[2, sqrt(r)]上進行遍歷，通過埃式篩法將[l, r]範圍內的非素數劃去即可得到[l, r]範圍內的素數。
代碼：

#include<iostream>
#define MAX_N 10000

int prime_num[MAX_N];//記錄素數
bool prime_bool[MAX_N+1];

int prime_segment(int l, int r){

    int count = 0;
    for (int i = 2; i*i <= r; i++)
    {
        prime_bool[i] = true;
    }
    for (int i = l; i <= r; i++)
    {
        prime_bool[i] = true;
    }
    for (int i = 2; i*i <= r; i++)
    {
        if (prime_bool[i])
        {
            for (int j = i+i; j <= r; j += i)
            {
                prime_bool[j] = false;
            }
        }
    }
    for (int i = l; i <= r; i++)
    {
        if (prime_bool[i])
        {
            prime_num[count++] = i;
        }
    }
    return count;
}

int main(){
    int l = 0;
    printf("請輸入開始數字：\n");
    scanf_s("%d", &l);
    int r = 0;
    printf("請輸入結束數字：\n");
    scanf_s("%d", &r);
    int c = prime_segment(l, r);
    printf("共有%d個素數\n", c);
    printf("所有的素數：\n");
    for (int i = 0; i < MAX_N; i++)
    {
        if (prime_num[i] == 0)
            break;
        if (i % 8 == 0)
            printf("\n");
        printf("%-8d ", prime_num[i]);
    }
    printf("\n");
    system("pause");
    return 0;
}