LeetCode_Q53_最大子序和

53. 最大子序和

給定一個整數數組 nums ，找到一個具有最大和的連續子數組（子數組最少包含一個元素），返回其最大和。

示例:

輸入: [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4],
輸出: 6
解釋: 連續子數組 [4,-1,2,1] 的和最大，爲 6。

進階:
如果你已經實現複雜度爲 O(n) 的解法，嘗試使用更爲精妙的分治法求解。

階梯思路

方法1：動態規劃

• 設數組爲 $a[k]$ , $0\leq k \leq n-1$,最大字段和 X 被定義爲：$x= \max \{ \sum_{j}^{k=i} a[k] \}_{0\leq i\leq j \leq n-1}$
• 這種兩端都是變化的問題是很難優化的，最好可以讓一端固定，這樣就會大大簡化分析難度。於是將j暫時從原式子中提取出來，將剩下的命名爲b[j]。
• 設 $b[j] = max\{ \sum_{j}^{k=m}{a[k]} \}_{0\leq j\leq n-1}$ 則 $x=max \{ b[j] \}_{0\leq j \leq n-1}$
• 則 $b[j]$ 就是 以 $a[i]$ 結尾的最大字段和，所以有:$b[j] = max\{ b[j-1]+a[j],a[j]\}$

Code(Java)

	class Solution {
		public int maxSubArray(int[] nums) {
			int[] dp = new int[nums.length];
			dp[0] = nums[0];
			int max = dp[0];
			for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
				dp[i] = Math.max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i]);
				if (dp[i] > max)
					max = dp[i];
			}
			return max;
		}
	}