第四講：一元函數微分學的概念與計算

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導數的定義

若$lim_{x->x_0}\frac {f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=A$（式子左右極限存在且相等），則A爲函數$x_0$的導數值，也是$x_0$點切線的斜率，稱函數在該$x_0$點可導。以上式子還有另一種寫法$lim_{Δx->0}\frac {f(x+Δx)-f(x)}{Δx}=A$
導數的定義可以證明很多公式，如$(uv)^{'},(uvw)^{'},分部積分法$等等。

微分的定義

求導的技巧

• 鏈式求導法則(高中知識略)
• 分段函數求導
  要特別注意在定義域分段的邊界點，導數的左右極限是否相等，不相等則邊界點導數不存在。
• 反函數的導數
  $y^{'}_x=\frac{Δy}{Δx}=\frac{1}{\frac{Δx}{Δy}}=\frac{1}{x^{'}_y}$
  這裏寫一個二階反函數導數的證明，方便自己理解
  $y^{''}_x=\frac {d(\frac{Δy}{Δx})}{Δx}$
  $=\frac {d(\frac{1}{x^{'}_y})}{Δx}$
  $=\frac {d(\frac{1}{x^{'}_y})}{Δy} \frac{Δy}{Δx}$
  $=-\frac{1}{(x^{'}_y)^2} x^{''}_y \frac{1}{x^{'}_y}$
• 反函數求導
  對於每個y的導數，求導數時加個y’即可，比如用隱函數求導可以輕鬆圓錐曲線的某點的切線。
• 參數方程求導
  $y^{'}_x=\frac{Δy}{Δx}=\frac{Δy/Δt}{Δx/Δt}$
• 對數求導，冪指數求導
  用對數的運算法則變形計算。