第四讲：一元函数微分学的概念与计算

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导数的定义

若$lim_{x->x_0}\frac {f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=A$（式子左右极限存在且相等），则A为函数$x_0$的导数值，也是$x_0$点切线的斜率，称函数在该$x_0$点可导。以上式子还有另一种写法$lim_{Δx->0}\frac {f(x+Δx)-f(x)}{Δx}=A$
导数的定义可以证明很多公式，如$(uv)^{'},(uvw)^{'},分部积分法$等等。

微分的定义

求导的技巧

• 链式求导法则(高中知识略)
• 分段函数求导
  要特别注意在定义域分段的边界点，导数的左右极限是否相等，不相等则边界点导数不存在。
• 反函数的导数
  $y^{'}_x=\frac{Δy}{Δx}=\frac{1}{\frac{Δx}{Δy}}=\frac{1}{x^{'}_y}$
  这里写一个二阶反函数导数的证明，方便自己理解
  $y^{''}_x=\frac {d(\frac{Δy}{Δx})}{Δx}$
  $=\frac {d(\frac{1}{x^{'}_y})}{Δx}$
  $=\frac {d(\frac{1}{x^{'}_y})}{Δy} \frac{Δy}{Δx}$
  $=-\frac{1}{(x^{'}_y)^2} x^{''}_y \frac{1}{x^{'}_y}$
• 反函数求导
  对于每个y的导数，求导数时加个y’即可，比如用隐函数求导可以轻松圆锥曲线的某点的切线。
• 参数方程求导
  $y^{'}_x=\frac{Δy}{Δx}=\frac{Δy/Δt}{Δx/Δt}$
• 对数求导，幂指数求导
  用对数的运算法则变形计算。