數據結構與算法 | 【斐波那契數列與遞歸】

斐波那契數列（Fibonacci sequence），又稱黃金分割數列，當n趨向於無窮大時，前一項與後一項的比值越來越逼近黃金分割0.618（或者說後一項與前一項的比值小數部分越來越逼近 0.618）。
$\lim_{n \to +\infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} \quad = \ \frac{\sqrt{5}-1}{2}$
黃金比例和斐波那契數列的數學意義密切相關，在我們的生活中小到細胞分裂、花瓣的排列紋路，大到人口密度和土地面積測繪，甚至是宇宙星系都有着斐波那契數列的身影。

有關斐波那契數列的數學定理和相關公式請參考斐波那契數列——百度詞條。其中斐波那契數列的排列方式很有趣，前兩項的和等於第三項的和，我們很容易就可以依據這個特點寫出它的遞推公式：$a_n = a_{n-1} + a_{n-2}$ 。並且按照遞推公式我們還可以推導出相應的通項公式：

$a_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \left[ \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^n - \left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^n \right] \tag{通項公式}$

下面讓我們通過幾個示例來了解斐波那契數列的魅力把。

示例1：無窮數列 1,1,2,3,5,13,21,34,55,…, 稱爲 Fibonacci 數列，計算第n位數列。

同樣的，這次先用循環和遞歸做一遍，然後在想辦法進行優化。

#include <iostream>
using namespace std;

/*
題目：無窮數列 1,1,2,3,5,13,21,34,55,..., 稱爲 Fibonacci 數列，計算第n位數列。
*/

// 循環實現
int Fibonacci(int n)
{
	/*
	1     1     2    5
	a=1 b=1 
			 c=a+b=2
	    a=b    b=c
	分析：
	c 保存兩數之和，a、b向後移動
	*/
	int a = 1, b = 1, c = 1;
	for (int i = 3; i <= n; ++i)
	{
		c = a + b;
		a = b;
		b = c;
	}
	return c;
}

// 遞歸實現
int Fib(int n)
{
	if (n <= 2)	return 1;
	else return Fib(n - 1) + Fib(n-2);
}

int main()
{
	for (int i = 1; i < 10; ++i)
	{
		cout << Fibonacci(i) << " ";
		cout << Fib(i) << endl;
	}
	return 0;
}

分析遞歸效率：
對於循環來講，它使用遞推公式的方式求解，基本上沒有需要優化的地方，除非我們選擇使用通項公式求解，而對於當前的遞歸來說卻還有着一些優化的空間。
遞歸過程分析：如：欲求的第五位斐波那契數，其遞歸調用方式如下

如圖所示：

• 在第一次遞歸時，把求5的問題轉換爲求4的問題和求3的問題
• 在第二次遞歸時，把求4的問題轉換爲求3的問題和求2的問題
• 在第二次遞歸時，把求3的問題轉換爲求2的問題和求1的問題
• 在第三次遞歸時，把求3的問題轉換爲求2的問題和求1的問題

我們發現僅僅是計算第五個斐波那契數就要重複計算兩次求3問題，三次求2問題，兩次求1問題，這些重複的計算顯然是沒有意義的。從我們人的角度來分析問題，我們只需要計算一次“1”、一次“2”、一次“3”、一次“4”，就可以得到“5”的值了。並且我們也確實這樣做了。正如我們所見到的，我們使用循環實現的求斐波那契數就是按照這種邏輯設計的。

前面提到過，通常情況下循環問題可以轉換爲遞歸問題，那麼我們是否可以把循環式的代碼稍加修改變成遞歸式呢？
循環式分析：
在循環中使用了三個變量，a、b 用於保存 $a_{n-1}$、$a_{n-2}$ 的值，使用 c 保存相加後的結果，a、b再向後移動一位。整體的過程如下表所示：

1	1	2	3	5	8	13	21	34
a	b	c
	a	b	c
		a	b	c
			a	b	c
				a	b	c
					a	b	c
						a	b	c

遞歸算法設計：
對於一個 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 的數列，遞歸的求法是將大問題轉化爲小問題後在求解，如：求34問題->求21問題->求13問題->求5問題->求3問題->求2問題。

分析：把這個數列類比成一個數組的話，遞歸就像是倒着數組求值，循環是正向對數組求值。並且在整個過程中都是遍歷完整個數組的，遞歸次數與循環次數相同。

算法：在進行每一步遞歸時同時進行計算，從斐波那契數的起始數 1，1 開始計算，待到遞歸到結束時已經求得斐波那契數值。並且這個算法不存在重複求值問題。

遞歸調用式：$fib(n , a,b) \ => fib(n-1,b,a+b)$ ,調用過程中，n爲遞歸次數，a 的位置保存b的值，b 的位置保存 c 的值（a+b）
遞歸過程分析：求第9個斐波那契數
fib(9,1,1) ⇒ fib(8,1,2) ⇒ fib(7,2,3) ⇒ fib(6,3,5) ⇒ fib(5,5,8) ⇒ fib(4,8,13) ⇒ fib(3,13,21) ⇒ fib(2,21,34)
$\ a_1=1 \ \ , \ \ a_2=1 \ \ \ ,\ \ a_3 = 2 \ \ \ ,\ \ a_4 = 3 \ \ \ ,\ \ a_5 = 5 \ \ \ ,\ \ a_6 = 8 \ \ \ \ ,\ \ a_7 = 13\ \ \ \ ,\ \ a_8 = 21\ \ \ \ ,\ \ a_9 = 34$

因此，對於遞歸式$fib(n , a,b)$，的遞歸終止條件也確定了。在 $n = 2$ 時返回 b ，或者在 $n = 1$ 返回 a 都可以，下面是C++的代碼實現：

#include <iostream>
using namespace std;

/*
題目：無窮數列 1,1,2,3,5,13,21,34,55,..., 稱爲 Fibonacci 數列，計算第n位數列。
*/


int Fib_Reverse(int n, int a, int b)
{
	if (n <= 2) return b;
	else return Fib_Reverse(n - 1, b, a + b);
}

int NiceFib(int n)
{
	int a = 1, b = 1;
	return Fib_Reverse(n, a, b);
}

int main()
{
	for (int i = 1; i < 10; ++i)
	{
		cout << NiceFib(i) << " ";
	}
	cout << endl;
	return 0;
}

除了直接求斐波那契數列的問題外，還有很多其衍生問題。如：求楊輝三角問題、爬樓梯問題、兔子繁殖問題、青蛙跳臺階問題等等。另外，盧卡斯數列 1、3、4、7、11、18…，也具有斐波那契數列同樣的性質。值得一提的是在現代物理、準晶體結構、化學等領域，斐波納契數列都有直接的應用。感興趣的同學可以自行在網上查找相關資料。

最後，如果覺得我的文章對你有幫助的話請幫忙點個贊，你的鼓勵就是我學習的動力。如果文章中有錯誤的地方歡迎指正，有不同意見的同學也歡迎在評論區留言，互相學習。

——學習路上，你我共勉