轉載一篇有關博弈寫得不錯的文章，同時也對文章中的錯誤部分修正。
博客正容：【一】（先來苦澀的理論）
（一）巴什博奕（Bash Game）：只有一堆n 個物品，兩個人輪流從這堆物品中取物，
規定每次至少取一個，最多取m 個。最後取光者得勝。
顯然，如果n=m+1，那麼由於一次最多隻能取m 個，所以，無論先取者拿走多少個，後取者都能夠一次拿走剩餘的物品，後者取勝。
因此我們發現瞭如何取勝的法則：如果n=（m+1）r+s，（r 爲任意自然數，s≤m),那麼先取者要拿走s 個物品，如果後取者拿走k（≤m)個，那麼先取者再拿走m+1-k個，結果剩下（m+1）（r1）個，以後保持這樣的取法，那麼先取者肯定獲勝。
總之，要保持給對手留下（m+1）的倍數，就能最後獲勝。
這個遊戲還可以有一種變相的玩法：兩個人輪流報數，每次至少報一個，最多報十個，誰能報到100 者勝。
（二）威佐夫博奕（Wythoff Game）：有兩堆各若干個物品，兩個人輪流從某一堆或同時從兩堆中取同樣多的物品，規定每次至少取一個，多者不限，最後取光者得勝。
這種情況下是頗爲複雜的。
我們用（ak，bk）（ak ≤ bk ,k=0，1，2，...,n)表示兩堆物品的數量並稱其爲局勢，如果甲面對（0，0），那麼甲已經輸了，這種局勢我們稱爲奇異局勢。
前幾個奇異局勢是：（0，0）、（1，2）、（3，5）、（4，7）、（6，10）、（8，13）、（9，15）、（11，18）、（12，20）。
可以看出,a0 = b0 = 0,ak 是未在前面出現過的最小自然數,而bk= ak + k，奇異局勢有如下三條性質：
1、任何自然數都包含在一個且僅有一個奇異局勢中。
由於ak 是未在前面出現過的最小自然數，所以有ak > ak1，而bk= ak + k > ak1+ k1=bk1> ak1。所以性質1成立。
2、任意操作都可將奇異局勢變爲非奇異局勢。
事實上，若只改變奇異局勢（ak，bk）的某一個分量，那麼另一個分量不可能在其他奇異局勢中，所以必然是非奇異局勢。
如果使（ak，bk）的兩個分量同時減少，則由於其差不變，且不可能是其他奇異局勢的差，因此也是非奇異局勢。
3、採用適當的方法，可以將非奇異局勢變爲奇異局勢。
假設面對的局勢是（a,b），若b = a，則同時從兩堆中取走a 個物體，就變爲了奇異局勢（0，0）；
如果a = ak ，b > bk，那麼，取走b-bk個物體，即變爲奇異局勢；
如果 a = ak ， b < bk ，則同時從兩堆中拿走a-a[b-a] 個物體變爲奇異局勢（ a[b-a], b-a+a[b-a]）；
如果a > ak ，b = ak + k,則從第一堆中拿走多餘的數量a - ak即可；
如果a < ak ，b= ak + k,分兩種情況，第一種，a=aj （j < k）,從第二堆裏面拿走b - bj即可；
第二種，a=bj （j < k）,從第二堆裏面拿走b - aj即可。
從如上性質可知，兩個人如果都採用正確操作，那麼面對非奇異局勢，先拿者必勝；反之，則後拿者取勝。
那麼任給一個局勢（a，b），怎樣判斷它是不是奇異局勢呢？我們有如下公式：
ak =[k（1+√5）/2]，bk= ak + k （k=0，1，2，...,n 方括號表示取整函數）
奇妙的是其中出現了黃金分割數（1+√5）/2 = 1.618...,因此,由ak，bk 組成的矩形近似爲黃金矩形，
由於2/（1+√5）=（√51）/2，可以先求出j=[a（√51）/2]，若a=[j（1+√5）/2]，
那麼a = aj，bj = aj + j，若不等於，那麼a = aj+1，bj+1 = aj+1+ j + 1，若都不是，那麼就不是奇異局勢。
然後再按照上述法則進行，一定會遇到奇異局勢。
奇異局勢見圖：
（三）尼姆博奕（Nimm Game）：有三堆各若干個物品，兩個人輪流從某一堆取任意多的物品，規定每次至少取一個，多者不限，最後取光者得勝。
這種情況最有意思，它與二進制有密切關係，我們用（a，b，c）表示某種局勢。
首先（0，0，0）顯然是奇異局勢，無論誰面對奇異局勢，都必然失敗。
第二種奇異局勢是（0，n，n），只要與對手拿走一樣多的物品，最後都將導致（0，0，0）。
仔細分析一下，（1，2，3）也是奇異局勢，無論對手如何拿，接下來都可以變爲（0，n，n）的情形。
計算機算法裏面有一種叫做按位模2 加，也叫做異或的運算，我們用符號（+）表示這
種運算。這種運算和一般加法不同的一點是1+1=0。先看（1，2，3）的按位模2 加的結果：
1 =二進制01
2 =二進制10
3 =二進制11 （+）
———————
0 =二進制00 （注意不進位）
對於奇異局勢（0，n，n）也一樣，結果也是0。
任何奇異局勢（a，b，c）都有a（+）b（+）c =0。
如果我們面對的是一個非奇異局勢（a，b，c），要如何變爲奇異局勢呢？
假設a < b< c,我們只要將c 變爲a（+）b,即可,因爲有如下的運算結果: a（+）b（+）(a（+）b)=(a（+）a)（+）(b（+）b)=0（+）0=0。
要將c 變爲a（+）b，只要從c 中減去c（a（+）b）即可。
例1：（14，21，39），14（+）21 = 27，39 - 27 = 12，所以從39 中拿走12 個物體即可達到奇異局勢（14，21，27）。
例2：（55，81，121），55（+）81 = 102，121 - 102 = 19，所以從121 中拿走19 個物品就形成了奇異局勢（55，81，102）。
例3：（29，45，58），29（+）45=48，58 - 48 = 10，從58 中拿走10 個，變爲（29，45，48）。
例4：我們來實際進行一盤比賽看看：
甲:(7,8,9)>(1,8,9)奇異局勢
乙:(1,8,9)>(1,8,4)
甲:(1,8,4)>(1,5,4)奇異局勢
乙:(1,5,4)>(1,4,4)
甲:(1,4,4)>(0,4,4)奇異局勢
乙:(0,4,4)>(0,4,2)
甲:(0.4,2)>(0,2,2)奇異局勢
乙:(0,2,2)>(0,2,1)
甲:(0,2,1)>(0,1,1)奇異局勢
乙:(0,1,1)>(0,1,0)
甲:(0,1,0)>(0,0,0)奇異局勢
甲勝。