大O符號是一種算法複雜度的相對錶示方式。
這個句子裏有一些重要而嚴謹的用詞：
- 相對(relative)：你只能比較相同的事物。你不能把一個做算數乘法的算法和排序整數列表的算法進行比較。但是，比較2個算法所做的算術操作（一個做乘法，一個做加法）將會告訴你一些有意義的東西；
- 表示(representation)：大O(用它最簡單的形式)把算法間的比較簡化爲了一個單一變量。這個變量的選擇基於觀察或假設。例如，排序算法之間的對比通常是基於比較操作(比較2個結點來決定這2個結點的相對順序)。這裏面就假設了比較操作的計算開銷很大。但是，如果比較操作的計算開銷不大，而交換操作的計算開銷很大，又會怎麼樣呢？這就改變了先前的比較方式；
- 複雜度(complexity)：如果排序10,000個元素花費了我1秒，那麼排序1百萬個元素會花多少時間？在這個例子裏，複雜度就是相對其他東西的度量結果。
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我所能想到的大O符號最好的例子就是做算術。拿兩個數字（123456和789012）舉例。我們在學校裏學到的基本算術操作是：
- 加法；
- 減法；
- 乘法；
- 除法。
它們中每一個都是一次操作或一個問題。爲它們求解的方法就被叫做算法（algorithm）。
加法是最簡單的了。你把加數排成行，按列加上每個數字，把所加得的數的末位數字寫到結果裏。所加得的數的十位及其以上的數字轉入下一列的計算中。
讓我們假設在算法中，加上這些數是計算開銷最大的操作。合乎情理的說，爲了把這兩個數加起來我們必須要加6次數字（並且可能進位到第7次）。如果我們把兩個100位數相加，我們必須做100次加法操作。如果我們把兩個10,000位數相加，我們必須做10,000次加法操作。
看到這裏的模式了嗎？複雜度（complexity，就是操作的數量），對於加法中較大數的數字個數n，是直接成比例的。我們稱這爲O(n)或者線性複雜度（linear complexity）。
除了借位替代了進位，減法也是相似的。
乘法就不同了。你把乘數排成行，取放在下面的乘數的第1個數字，把它逆序乘以上面乘數的每一個數字。下面乘數的其餘數字也這樣做。所以爲了乘我們的兩個6位數乘數，我們必須做36次乘法操作。我們還需要做10或11次列的加法操作來得到最終結果。
如果我們有兩個100位數相乘，我們需要做10,000次乘法操作和200次加法操作。兩個100萬位數相乘，我們需要做1萬億(1012)次乘法操作和200萬次加法操作。
作爲n平方的算法衡量尺度，這就是O(n2)，即平方複雜度(quadratic complexity)。現在是時候介紹另一個重要概念了：
我們只關心複雜度最重要的部分。
敏銳的人可能已意識到，我們可以把操作次數表示爲：n2 + 2n。但正如你所看到的，我們的兩個100萬位數相乘的例子，第二個 2n 無關緊要（在那個階段，2n只佔操作總量的0.0002%）。
有人注意到我們在這裏假設場景爲最壞的情況。當我們做6位數乘法時，如果其中一個是4位數另一個是6位數，那麼我們只需做24次乘法操作。然而，對於那個’n'，我們仍然計算最壞情況，即乘數都是6位數的情況。因此，大O符號是關於一個算法的最壞情況的。