擴展歐幾里得算法複習筆記（未完成）

參考資料：https://www.cnblogs.com/haveyoueverbeen/p/4612753.html

求方程 $ax+by=c\:(x,y \in \Z)$ 的解

擴展歐幾里得算法是一種用來求關於 $x,y$ 的方程 $ax+by=gcd\left(a,b\right)\:(x,y \in \Z)$ 的一組解的算法.

考慮方程 $ax+by=\gcd\left(a,b\right)\:(a>b)$（方程 (1)），

1. $b=0$ 時，$\gcd\left(a,b\right)=a$，$\left(1,0\right)$ 是該方程的一組解；

2. 設 $\left(x_1,y_1\right)$ 是方程 $bx+\left(a \mod b\right)y=gcd\left(b,a \mod b\right)$（方程 (2)） 的一組解，
所以 $bx_1+\left(a \mod b\right)y_1=gcd\left(b,a \mod b\right)$.
由 $\gcd\left(a,b\right)=\gcd\left(b,a \mod b\right)$，
得 $bx_1+\left(a \mod b\right)y_1=\gcd\left(a,b\right)$，
$bx_1+\left(a - \left\lfloor\dfrac{a}{b}\right\rfloor b\right)y_1=\gcd\left(a,b\right)$，
$ay_1+b\left(x_1-\left\lfloor\dfrac{a}{b}\right\rfloor y_1\right)=\gcd\left(a,b\right)$.
所以 $\left(y_1,x_1-\left\lfloor\dfrac{a}{b}\right\rfloor y_1\right)$ 是該方程的一組解.

因此要（yào）求方程 (1)的一組解，我們先考慮 $b$，如果 $b=0​$，方程 (1)的一組解就是 $(1,0)​$，否則遞歸求方程 (2) 的一組解，然後利用方程2的一組解得到方程 (1) 的一組解。

代碼：

template<typename T>
pair<T, T> exgcd(const T a, const T b)
//exgcd(x,y):返回關於 x,y 的方程 ax+by=gcd(a,b) 的一組解
{
	if(b == 0)
		return pair<T, T>(1, 0);
	pair<T, T> tmp = exgcd(b, a % b);
	return pair<T, T>(tmp.sec, tmp.fir - (a / b) * tmp.sec);
}

通過這個算法，我們得到了方程 (1) 的一組解，可以由這組特解寫出它的通解：$x=x_1+kb,y=y_1-ka$.