算法導論 - 堆排序

注意：爲了更好的學習理解，本文實現了MATLAB程序，本文圖示大部分是書籍的截圖，因爲書籍中的圖示和解釋非常嚴謹、非常詳細、非常棒！

 

                                          堆排序

目錄

一、引言

二、維護堆的性質

三、建堆

四、堆排序算法

五、優先隊列

六、參考文獻

 

 

一、引言

• 1. 什麼是堆？

如上圖所示，（二叉）堆是一個數組，它可以被看成一個近似的完全二叉樹，樹上的每一個節點對應數組中的一個元素。除了底層外，該樹是完全充滿的，而且是從左向右填充。

• 2.  二叉堆的兩種形式：最大堆、最小堆

最大堆：最大堆的性質是指除了根以外的所有結點i都要滿足：，也就是說，某個結點的值至多與其父節點一樣大。因此，堆中的最大元素存放在根節點中；並且在任意一子樹中，該子樹所包含的所有結點的值都不大於該子樹根節點的值。

最小堆：最小堆的性質是指除了根以外的所有結點i都要滿足：，也就是說，最小堆的組織方式跟最大堆的相反，最小堆中的最小元素放在根節點中。

• 3. 完全二叉樹？

 

如上圖所示，除了最後一層之外的其他每一層都被完全填充，並且所有結點都保持向左對齊。

• 4. 堆的應用？

堆的應用比較廣泛，概括一下主要用在以下幾個方面，內存管理、數據處理、系統中內核和驅動事件優先級管理等等。

 

二、維護堆的性質

•  1. 獲取父節點下標

function index = parent(i)
    index =  i/2;
end

• 2. 獲取左孩子下標

function index = left(i)
    index = 2*i;
end

• 3. 獲取右孩子下標

function index = right(i)
    index = 2*i + 1;
end

• 4. 維護最大堆性質

如上圖所示，實現代碼如下：

% 1. 最大堆性質維護，可以理解爲修正爲最大堆
function [A_t] = max_heapify(A, i, n)
    l = left(i);              % (1) 獲取左下標
    r = right(i);             % (2) 獲取右下標
    
    if l <= n && A(l) > A(i)        % (3) 判斷左孩子是否大於父節點
        largest = l;
    else
        largest = i;
    end
    
    if r <= n && A(r) > A(largest)  % (4) 判斷右節點是否大於父節點
        largest = r;
    end
    
    if largest ~= i                 % (5) 如果子節點大於父節點則交換值
        temp = A(i);
        A(i) = A(largest);
        A(largest) = temp;
        A = max_heapify(A, largest, n);
    end
    A_t = A;
end

• 5. 維護最小堆性質

function [A_t] = min_heapify(A, i, n)
    l = left(i);              % (1) 獲取左下標
    r = right(i);             % (2) 獲取右下標
    
    if l <= n && A(l) < A(i)        % (3) 判斷左孩子結點是否大於父結點
        largest = l;
    else
        largest = i;
    end
    
    if r <= n && A(r) < A(largest)  % (4) 判斷右孩子結點是否大於父結點
        largest = r;
    end
    
    if largest ~= i                 % (5) 如果有則交換值
        temp = A(i);
        A(i) = A(largest);
        A(largest) = temp;
        A = max_heapify(A, largest, n);
    end
    A_t = A;
end

 

三、建堆

•  1. 創建最大堆

如上圖，程序如下：

function [ Y ] = build_max_heap( A )
%   創建最大堆

    [m, n] = size(A);               % (1). 獲取堆數組的大小
    for i = floor(n/2):-1:1         % (2). 自底向上的方法利用max_heapify轉換A爲最大堆
        A = max_heapify(A, i, n);
    end
    Y = A;
end

• 2. 創建最小堆

function [ Y ] = build_min_heap( A )
%   創建最小堆

    [m, n] = size(A);               % (1). 獲取堆數組的大小
    for i = floor(n/2):-1:1         % (2). 自底向上的方法利用max_heapify轉換A爲最小堆
        A = max_heapify(A, i, n);
    end
    Y = A;
end

 

四、堆排序算法

function [A_t] = heap_sort(A)
    A = build_max_heap(A);      % (1). 創建最大堆
    [m,n] = size(A);
    for i = n:-1:2              % (2). 重複調用max_heapify函數，構造新的最大堆
        temp = A(1);
        A(1) = A(i);
        A(i) = temp;
        n = n - 1;
        A = max_heapify(A,1,n);
    end
    A_t = A;
end

 

五、優先隊列

優先隊列是一種用來維護由一組元素構成的集合S的數據結構，其中的每一個元素都有一個相關的值，稱爲關鍵字（key）；普通的隊列是一種先進先出的數據結構，元素在隊列尾追加，而從隊列頭刪除。在優先隊列中，元素被賦予優先級。當訪問元素時，具有最高優先級的元素最先刪除。優先隊列具有最高級先出 （first in, largest out）的行爲特徵。通常採用堆數據結構來實現。

優先隊列主要應用在任務和事件的調度上（優先級）。

• 1.  插入元素

function [A_t] = max_heap_insert(A, key)
% 把元素插入到集合A中
    [m,n] = size(A);
    A(n) = -10000;
    A_t = heap_increase_key(A, n, key);
end

• 2. 檢索具有最大鍵字的元素

function x = heap_maximum(A)
% 對於最大優先隊列
    x = A(1);
end

• 3. 檢索並刪除具有最大鍵字的元素

function [index_max, A_t] = heap_extract_max(A)
%   去掉並返回S中的具有最大關鍵字的元素
    [m, n] = size(A);
    if n < 1
        disp('heap underflow');
    end
    index_max = A(1);
    A(1) = A(n);
    A(n) = A(n-1);
    A = max_heapify(A,1,n);
    A_t = A;
end

• 4. 將元素x的關鍵字值增加到k

function [A] = heap_increase_key(A,i,key)
%   將元素x的關鍵字值增加到k，這裏假設k的值不小於x的原關鍵字值
    if key < A(i)
        disp('error : new key is smaller than current key');
    end
    A(i) = key;
    while i > 1 && A(parent(i)) < A(i)
        A(i) = A(parent(i));
        i = parent(i);
    end
end

六、參考文獻

• [1] 算法導論(第三版)