Floyd算法及其MATLAB實現

一、最短路問題

1、定義

設 $P(u,v)$ 是網絡加權圖中從結點 $u$ 到 $v$ 的路徑，該路徑上的邊權之和稱爲該路徑的權，記爲 $W(P)$ 。從結點 $u$ 到 $v$ 的路徑中邊權最之和小者 $P^*(u,v)$ 稱爲 $u$ 到 $v$ 的最短路徑。

2、用途

最短路問題(short-path problem)是網絡理論解決的典型問題之一，其基本內容是:若網絡中的每條邊都有一個數值(長度、成本、時間等)，則找出兩結點(通常是源結點和阱結點)之間總權和最小的路徑就是最短路問題。該問題可用來解決管路鋪設、線路安裝、廠區佈局和設備更新等實際問題。

3、常用算法

最短路問題常用的算法有Floyd算法、Dijkstra算法、SPFA算法等。本文主要介紹網絡最短路問題的Floyd算法及其MATLAB實現。

二、理論準備

1、網絡弧集和權矩陣

爲了論述方便，本文藉助下圖，介紹網絡弧集 $E$ 和網絡權矩陣 $W$ 的概念。

(上述網絡圖上標的數字爲各段弧的權值，該圖左側爲無向網絡圖，右側爲有向網絡圖。)
對於上述無向網絡圖而言，網絡弧集 $E_1=[(v_1,v_2),(v_1,v_4),(v_2,v_1),(v_2,v_4),(v_2,v_3),\\(v_3,v_2),(v_3,v_4),(v_4,v_1),(v_4,v_2),(v_4,v_3)]$ ，
對於上述有向網絡圖而言，網絡弧集 $E_2=[(v_1,v_2),(v_1,v_4),(v_2,v_3),(v_2,v_4),(v_3,v_4)]$ 。
由此可見，集合 $E$ 就是網絡圖的所有弧集合。
網絡權矩陣 $W=(W_{ij})_{n×n}$ ，其中,
當 $(v_i,v_j)∈ E$ 時， $W_{ij}=L_{ij}$ ， $L_{ij}$ 爲弧 $(v_i,v_j)$ 的權；
$W_{ii}=0,i=1,2,…,n$ ;
當 $(v_i,v_j)∉E$ 且 $i≠j$ 時， $W_{ij}=inf$ ，( $inf$ 爲無窮大， $n$ 爲網絡節點個數)
則按上述規定，上面無向網絡圖和有向網絡圖的權矩陣分別爲
$W_1=\begin{bmatrix} 0 & 4 & inf & 5 \\ 4 & 0 & 3 & 5 \\ inf & 3 & 0 & 2 \\ 5 & 5 & 2 & 0\end{bmatrix}$ ，
$W_2=\begin{bmatrix} 0 & 4 & inf & 5 \\ inf & 0 & 3 & 1 \\ inf & inf & 0 & 2 \\ inf & inf & inf & 0 \end{bmatrix}$
由於上述網絡圖均只有4個結點，故網絡的權矩陣均爲4階矩陣。

2、Floyd算法

1.使用範圍

①求任意兩結點的最短路徑；
②有向圖、無向圖、混合圖。

2.基本思想

直接在網絡圖的權矩陣 $W$ 中用插入頂點的方法依次遞推地構造出 $n$ 個矩陣 $D(1)，D(2)，…，D(n)$ ， $D(n)$ 是網絡圖的最短距離矩陣，同時引入一個路由矩陣記錄任意兩點之間的最短路徑。

3.算法步驟

設 $D_{ij}$ 爲結點 $v_i$ 到 $v_j$ 的距離； $P_{ij}$ 爲結點 $v_i$ 到 $v_j$ 路徑上 $v_i$ 的後繼點； $W$ 爲權矩陣。

第1步： ${\forall}i，j，D_{ij}=W_{ij},P_{ij}=j，k=1$ ；(賦初值)
第2步： ${\forall}i，j，若D_{ik}+D_{kj}<D_{ij}$ ，則 $D_{ij}=D_{ik}+D_{kj}，\\P_{ij}=P_{ik}，k=k+1$ ；(更新 $D，P$ )
第3步：重複第2步，直到 $k=n+1$ 。

三、實例求解

1、程序實現

下面給出一個例子，網絡圖如下：

可以看出，上圖爲無向網絡圖，其結點個數 $n=7$ ，權矩陣爲：
$W=\begin{bmatrix} 0 & 4 & 6 & 5 & inf & inf & inf \\ 4 & 0 & 1 & inf & 7 & inf & inf \\ 6 & 1 & 0 & 2 & 5 & 4 & inf \\ 5 & inf & 2 & 0 & inf & inf & inf \\ inf & 7 & 5 & inf & 0 & 1 & 6 \\ inf & inf & 4 & 5 &1 & 0 & 8 \\ inf & inf & inf & inf &6 & 8 & 0 \end{bmatrix}$

下面利用MATLAB編寫程序求其最短距離矩陣、路由矩陣以及任給兩結點之間的最短距離和路徑。

%% FileName:Floyd.m
%% Date:2020-4-13
%% Writer:Yida
%% Function:輸出網絡圖的最短距離矩陣和路由矩陣，指定兩結點間的最短距離及其路徑

%%
function [D, P, dis, path] = Floyd(W, start, stop) %start爲指定起始結點，stop爲指定終止結點
D = W; %最短距離矩陣賦初值
n = length(D); %n爲結點個數
P = zeros(n,n); %路由矩陣賦初值

for i = 1:n
    for j = 1:n
        P(i,j) = j;
    end
end

for k = 1:n
    for i = 1:n
        for j = 1:n
            if D(i,k) + D(k,j) < D(i,j)
                D(i,j) = D(i,k) + D(k,j);   %核心代碼
                P(i,j) = P(i,k);
            end
        end
    end
end
                  
if nargin ~= 3
    errordlg('參數個數輸入有誤！', 'Warning!')
else
    dis = D(start, stop); %指定兩結點間的最短距離
    m(1) = start;
    i = 1;

    while P(m(i),stop) ~= stop
        k = i + 1;
        m(k) = P(m(i),stop);
        i = i + 1;
    end
    m(i+1) = stop;
    path = m; %指定兩結點之間的最短路徑
end
%%

調用上述函數求該網絡圖的最短距離矩陣，並確定結點 $v_1$ 到 $v_7$ 的最短距離對應的路徑，程序如下：

W = ones(7) * inf; %權矩陣初始化
for i = 1:7
    W(i,i) = 0;
end
W(1,2) = 4; W(1,3) = 6; W(1,4) = 5;
W(2,1) = 4; W(2,3) = 1; W(2,5) = 7;
W(3,1) = 6; W(3,2) = 1; W(3,4) = 2; W(3,5) = 5; W(3,6) = 4;
W(4,1) = 5; W(4,3) = 2; W(4,6) = 5;
W(5,2) = 7; W(5,3) = 5; W(5,6) = 1; W(5,7) = 6;
W(6,3) = 4; W(6,4) = 5; W(6,5) = 1; W(6,7) = 8;
W(7,5) = 6; W(7,6) = 8; %修改元素後W爲權矩陣

pre_path = {'v1', 'v2', 'v3', 'v4', 'v5', 'v6', 'v7'}; %本例中網絡圖結點
 
start = 1; %起始節點爲v1
stop = 7; %終止結點爲v7

[D, P, dis, path] = Floyd(W, start, stop); %調用函數求解
fprintf('\n最短距離矩陣 D =\n\n')
disp(D)
fprintf('\n路由矩陣 P =\n\n')
disp(P)
fprintf('結點%s到%s的最短距離爲:%f\n\n', pre_path{start}, pre_path{stop}, dis)

fprintf('結點%s到%s的最短路徑爲:\n\n', pre_path{start}, pre_path{stop}) %輸出兩給定結點間的最短路徑

for i = 1:length(path)-1
    fprintf('%s', pre_path{path(i)})
    fprintf(' -> ')
end
fprintf('%s.\n', pre_path{path(length(path))})

程序運行結果如下：


最短距離矩陣 D =

     0     4     5     5    10     9    16
     4     0     1     3     6     5    12
     5     1     0     2     5     4    11
     5     3     2     0     6     5    12
    10     6     5     6     0     1     6
     9     5     4     5     1     0     7
    16    12    11    12     6     7     0


路由矩陣 P =

     1     2     2     4     2     2     2
     1     2     3     3     3     3     3
     2     2     3     4     5     6     5
     1     3     3     4     6     6     6
     3     3     3     6     5     6     7
     3     3     3     4     5     6     5
     5     5     5     5     5     5     7

結點v1到v7的最短距離爲:16.000000

結點v1到v7的最短路徑爲:

v1 -> v2 -> v3 -> v5 -> v7.

由程序運行結果知，該無向網絡圖的最短距離矩陣爲：
$D=\begin{bmatrix} 0&4&5&5&10&9&16 \\ 4&0&1&3&6&5&12 \\ 5&1&0&2&5&4&11 \\ 5&3&2&0&6&5&12 \\ 10&6&5&6&0&1&6 \\ 9&5&4&5&1&0&7 \\ 16&12&11&12&6&7&0 \end{bmatrix}$
結點 $v_1$ 到 $v_7$ 的最短距離爲16，其最短路徑爲： $v_1->v_2->v_3->v_5->v_7$ 。

2、一個思考

值得注意的是，上述由結點 $v_1$ 到 $v_7$ 的最短距離確實爲16，但是，由 $v_1$ 到 $v_7$ 的最短距離對應的路徑卻不止一條(另一條爲： $v_1->v_2->v_3->v_6->v_5->v_7$ )，這是爲什麼呢？讓我們回到上述算法步驟第2步，要求 ${\forall}i，j，若D_{ik}+D_{kj}<D_{ij}$ ，則 $D_{ij}=D_{ik}+D_{kj}$ ，而 $D_{35}=5，D_{36}=4，D_{65}=1，所以D_{35}=D_{36}+D_{65}，$ 但是，由於此時 $P_{35}=5$ ，而不能改爲 $P_{35}=6$ ，所以在程序運行結果的最短路徑中沒有結點 $v_6$ 。由此可見，上述算法只能確定一條最短路徑，如果某兩結點之間的最短路徑不止一條，該算法並不能完全找出。那麼，是不是任意兩結點之間必定有一條最短路徑呢？答案是否定的，下面給出一個反例。

3、一個反例

下圖就不存在1號頂點到3號頂點的最短路徑，因爲在 $1->2->3->1->2->3->…1->2->3$ 這樣的路徑中，每繞一次 $1->2->3$ 這樣的環，最短路徑就會減少1，永遠找不到最短路徑。所以，Floyd算法不能解決帶有"負權迴路"(或者叫"負權環")的網絡圖，因爲帶有"負權迴路"的網絡圖沒有最短路徑。

結束語：本文根據理解編寫，如有錯誤或不妥之處，請指正！

聲明：更詳細介紹請看本人簡文弗洛伊德（Floyd）算法詳解 | MATLAB實現

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