Floyd算法及其MATLAB实现

一、最短路问题

1、定义

设 $P(u,v)$ 是网络加权图中从结点 $u$ 到 $v$ 的路径，该路径上的边权之和称为该路径的权，记为 $W(P)$ 。从结点 $u$ 到 $v$ 的路径中边权最之和小者 $P^*(u,v)$ 称为 $u$ 到 $v$ 的最短路径。

2、用途

最短路问题(short-path problem)是网络理论解决的典型问题之一，其基本内容是:若网络中的每条边都有一个数值(长度、成本、时间等)，则找出两结点(通常是源结点和阱结点)之间总权和最小的路径就是最短路问题。该问题可用来解决管路铺设、线路安装、厂区布局和设备更新等实际问题。

3、常用算法

最短路问题常用的算法有Floyd算法、Dijkstra算法、SPFA算法等。本文主要介绍网络最短路问题的Floyd算法及其MATLAB实现。

二、理论准备

1、网络弧集和权矩阵

为了论述方便，本文借助下图，介绍网络弧集 $E$ 和网络权矩阵 $W$ 的概念。

(上述网络图上标的数字为各段弧的权值，该图左侧为无向网络图，右侧为有向网络图。)
对于上述无向网络图而言，网络弧集 $E_1=[(v_1,v_2),(v_1,v_4),(v_2,v_1),(v_2,v_4),(v_2,v_3),\\(v_3,v_2),(v_3,v_4),(v_4,v_1),(v_4,v_2),(v_4,v_3)]$ ，
对于上述有向网络图而言，网络弧集 $E_2=[(v_1,v_2),(v_1,v_4),(v_2,v_3),(v_2,v_4),(v_3,v_4)]$ 。
由此可见，集合 $E$ 就是网络图的所有弧集合。
网络权矩阵 $W=(W_{ij})_{n×n}$ ，其中,
当 $(v_i,v_j)∈ E$ 时， $W_{ij}=L_{ij}$ ， $L_{ij}$ 为弧 $(v_i,v_j)$ 的权；
$W_{ii}=0,i=1,2,…,n$ ;
当 $(v_i,v_j)∉E$ 且 $i≠j$ 时， $W_{ij}=inf$ ，( $inf$ 为无穷大， $n$ 为网络节点个数)
则按上述规定，上面无向网络图和有向网络图的权矩阵分别为
$W_1=\begin{bmatrix} 0 & 4 & inf & 5 \\ 4 & 0 & 3 & 5 \\ inf & 3 & 0 & 2 \\ 5 & 5 & 2 & 0\end{bmatrix}$ ，
$W_2=\begin{bmatrix} 0 & 4 & inf & 5 \\ inf & 0 & 3 & 1 \\ inf & inf & 0 & 2 \\ inf & inf & inf & 0 \end{bmatrix}$
由于上述网络图均只有4个结点，故网络的权矩阵均为4阶矩阵。

2、Floyd算法

1.使用范围

①求任意两结点的最短路径；
②有向图、无向图、混合图。

2.基本思想

直接在网络图的权矩阵 $W$ 中用插入顶点的方法依次递推地构造出 $n$ 个矩阵 $D(1)，D(2)，…，D(n)$ ， $D(n)$ 是网络图的最短距离矩阵，同时引入一个路由矩阵记录任意两点之间的最短路径。

3.算法步骤

设 $D_{ij}$ 为结点 $v_i$ 到 $v_j$ 的距离； $P_{ij}$ 为结点 $v_i$ 到 $v_j$ 路径上 $v_i$ 的后继点； $W$ 为权矩阵。

第1步： ${\forall}i，j，D_{ij}=W_{ij},P_{ij}=j，k=1$ ；(赋初值)
第2步： ${\forall}i，j，若D_{ik}+D_{kj}<D_{ij}$ ，则 $D_{ij}=D_{ik}+D_{kj}，\\P_{ij}=P_{ik}，k=k+1$ ；(更新 $D，P$ )
第3步：重复第2步，直到 $k=n+1$ 。

三、实例求解

1、程序实现

下面给出一个例子，网络图如下：

可以看出，上图为无向网络图，其结点个数 $n=7$ ，权矩阵为：
$W=\begin{bmatrix} 0 & 4 & 6 & 5 & inf & inf & inf \\ 4 & 0 & 1 & inf & 7 & inf & inf \\ 6 & 1 & 0 & 2 & 5 & 4 & inf \\ 5 & inf & 2 & 0 & inf & inf & inf \\ inf & 7 & 5 & inf & 0 & 1 & 6 \\ inf & inf & 4 & 5 &1 & 0 & 8 \\ inf & inf & inf & inf &6 & 8 & 0 \end{bmatrix}$

下面利用MATLAB编写程序求其最短距离矩阵、路由矩阵以及任给两结点之间的最短距离和路径。

%% FileName:Floyd.m
%% Date:2020-4-13
%% Writer:Yida
%% Function:输出网络图的最短距离矩阵和路由矩阵，指定两结点间的最短距离及其路径

%%
function [D, P, dis, path] = Floyd(W, start, stop) %start为指定起始结点，stop为指定终止结点
D = W; %最短距离矩阵赋初值
n = length(D); %n为结点个数
P = zeros(n,n); %路由矩阵赋初值

for i = 1:n
    for j = 1:n
        P(i,j) = j;
    end
end

for k = 1:n
    for i = 1:n
        for j = 1:n
            if D(i,k) + D(k,j) < D(i,j)
                D(i,j) = D(i,k) + D(k,j);   %核心代码
                P(i,j) = P(i,k);
            end
        end
    end
end
                  
if nargin ~= 3
    errordlg('参数个数输入有误！', 'Warning!')
else
    dis = D(start, stop); %指定两结点间的最短距离
    m(1) = start;
    i = 1;

    while P(m(i),stop) ~= stop
        k = i + 1;
        m(k) = P(m(i),stop);
        i = i + 1;
    end
    m(i+1) = stop;
    path = m; %指定两结点之间的最短路径
end
%%

调用上述函数求该网络图的最短距离矩阵，并确定结点 $v_1$ 到 $v_7$ 的最短距离对应的路径，程序如下：

W = ones(7) * inf; %权矩阵初始化
for i = 1:7
    W(i,i) = 0;
end
W(1,2) = 4; W(1,3) = 6; W(1,4) = 5;
W(2,1) = 4; W(2,3) = 1; W(2,5) = 7;
W(3,1) = 6; W(3,2) = 1; W(3,4) = 2; W(3,5) = 5; W(3,6) = 4;
W(4,1) = 5; W(4,3) = 2; W(4,6) = 5;
W(5,2) = 7; W(5,3) = 5; W(5,6) = 1; W(5,7) = 6;
W(6,3) = 4; W(6,4) = 5; W(6,5) = 1; W(6,7) = 8;
W(7,5) = 6; W(7,6) = 8; %修改元素后W为权矩阵

pre_path = {'v1', 'v2', 'v3', 'v4', 'v5', 'v6', 'v7'}; %本例中网络图结点
 
start = 1; %起始节点为v1
stop = 7; %终止结点为v7

[D, P, dis, path] = Floyd(W, start, stop); %调用函数求解
fprintf('\n最短距离矩阵 D =\n\n')
disp(D)
fprintf('\n路由矩阵 P =\n\n')
disp(P)
fprintf('结点%s到%s的最短距离为:%f\n\n', pre_path{start}, pre_path{stop}, dis)

fprintf('结点%s到%s的最短路径为:\n\n', pre_path{start}, pre_path{stop}) %输出两给定结点间的最短路径

for i = 1:length(path)-1
    fprintf('%s', pre_path{path(i)})
    fprintf(' -> ')
end
fprintf('%s.\n', pre_path{path(length(path))})

程序运行结果如下：


最短距离矩阵 D =

     0     4     5     5    10     9    16
     4     0     1     3     6     5    12
     5     1     0     2     5     4    11
     5     3     2     0     6     5    12
    10     6     5     6     0     1     6
     9     5     4     5     1     0     7
    16    12    11    12     6     7     0


路由矩阵 P =

     1     2     2     4     2     2     2
     1     2     3     3     3     3     3
     2     2     3     4     5     6     5
     1     3     3     4     6     6     6
     3     3     3     6     5     6     7
     3     3     3     4     5     6     5
     5     5     5     5     5     5     7

结点v1到v7的最短距离为:16.000000

结点v1到v7的最短路径为:

v1 -> v2 -> v3 -> v5 -> v7.

由程序运行结果知，该无向网络图的最短距离矩阵为：
$D=\begin{bmatrix} 0&4&5&5&10&9&16 \\ 4&0&1&3&6&5&12 \\ 5&1&0&2&5&4&11 \\ 5&3&2&0&6&5&12 \\ 10&6&5&6&0&1&6 \\ 9&5&4&5&1&0&7 \\ 16&12&11&12&6&7&0 \end{bmatrix}$
结点 $v_1$ 到 $v_7$ 的最短距离为16，其最短路径为： $v_1->v_2->v_3->v_5->v_7$ 。

2、一个思考

值得注意的是，上述由结点 $v_1$ 到 $v_7$ 的最短距离确实为16，但是，由 $v_1$ 到 $v_7$ 的最短距离对应的路径却不止一条(另一条为： $v_1->v_2->v_3->v_6->v_5->v_7$ )，这是为什么呢？让我们回到上述算法步骤第2步，要求 ${\forall}i，j，若D_{ik}+D_{kj}<D_{ij}$ ，则 $D_{ij}=D_{ik}+D_{kj}$ ，而 $D_{35}=5，D_{36}=4，D_{65}=1，所以D_{35}=D_{36}+D_{65}，$ 但是，由于此时 $P_{35}=5$ ，而不能改为 $P_{35}=6$ ，所以在程序运行结果的最短路径中没有结点 $v_6$ 。由此可见，上述算法只能确定一条最短路径，如果某两结点之间的最短路径不止一条，该算法并不能完全找出。那么，是不是任意两结点之间必定有一条最短路径呢？答案是否定的，下面给出一个反例。

3、一个反例

下图就不存在1号顶点到3号顶点的最短路径，因为在 $1->2->3->1->2->3->…1->2->3$ 这样的路径中，每绕一次 $1->2->3$ 这样的环，最短路径就会减少1，永远找不到最短路径。所以，Floyd算法不能解决带有"负权回路"(或者叫"负权环")的网络图，因为带有"负权回路"的网络图没有最短路径。

结束语：本文根据理解编写，如有错误或不妥之处，请指正！

声明：更详细介绍请看本人简文弗洛伊德（Floyd）算法详解 | MATLAB实现

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