51 nod: 1298 圓與三角形

題目

給出圓的圓心和半徑，以及三角形的三個頂點，問圓同三角形是否相交。相交輸出”Yes”，否則輸出”No”。（三角形的面積大於0）。

Input

第1行：一個數T，表示輸入的測試數量(1 <= T <= 10000)，之後每4行用來描述一組測試數據。
4-1：三個數，前兩個數爲圓心的座標xc, yc，第3個數爲圓的半徑R。(-3000 <= xc, yc <= 3000, 1 <= R <= 3000）
4-2：2個數，三角形第1個點的座標。
4-3：2個數，三角形第2個點的座標。
4-4：2個數，三角形第3個點的座標。(-3000 <= xi, yi <= 3000）

Output

共T行，對於每組輸入數據，相交輸出”Yes”，否則輸出”No”。

Input示例

2
0 0 10
10 0
15 0
15 5
0 0 10
0 0
5 0
5 5

Output示例

Yes
No

題解

判斷一個圓是否與三角形相交，先對點的分佈進行如下的判斷：
1. 三個點都在圓內，不相交
2. 三個點都在圓外，需要特殊判斷
3. 其它：相交

對於情況2：
1. 如果圓與任意一條邊相交，則相交，對於每條邊轉入2
2. 對於每一條邊，求點到直線距離，如果距離大於半徑，無交點，否則，轉入3
3. 如果以兩個三角形點的爲中心的角都是銳角，則相交，否則不相交，具體分析如下：

圓心到線段所在直線距離大於r
這種情況下，直接可以確定該線段與圓無交點

圓心到線段所在直線距離小於r
第一種情況：

這種情況下，我們可以得到，∠OAB=∠OCA+∠COA ，由於是垂足，因此∠OCA=90∘ ，∠OAB>90∘ 。因此得到對應的向量點乘後小於0。注：不需要考慮A是切點，如果是切點，就已經是前面的第3種情況，直接就判斷相交。

第二種情況：

這種情況下，可以得到∠OAC+∠AOC=90∘ ，因此∠OAC<90∘ 。同理分析∠OBC 。因此這兩個角都必須是銳角，即向量點乘後大於0。

直線方程
直線方程的標準式是：Ax+By+C=0 。需要對垂直和水平的直線進行特殊的考慮。點到直線的距離的公式是：

|Ax+By+C|A2+B2−−−−−−−√

代碼

#include <iostream>
#include <limits>
#include <algorithm>

using namespace std;
using ll = long long;

ll Distance(ll x1, ll y1, ll x2, ll y2)
{
    return (x1 - x2)*(x1 - x2) + (y1 - y2)*(y1 - y2);
}

bool isSegmentCircle(ll x, ll y, ll r,ll px1, ll py1, ll px2, ll py2)
{
    ll a, b, c;     // 直線方程的三個參數
    if (px1 == px2)
    {
        a = 1;
        b = 0;
        c = -px1;
    }
    else if (py1 == py2)
    {
        a = 0;
        b = 1;
        c = -py1;
    }
    else
    {
        a = py2 - py1;
        b = px1 - px2;
        c = px2*py1 - px1*py2;
    }
    ll dMax = r*r*(a*a + b*b);
    ll dUp = a*x + b*y + c;
    dUp = dUp*dUp;      // 點到直線距離
    if (dUp > dMax)
        return false;
    // 向量點乘
    ll sita1 = (x - px1)*(px2 - px1) + (y - py1)*(py2 - py1);
    ll sita2 = (x - px2)*(px1 - px2) + (y - py2)*(py1 - py2);
    if (sita1 > 0 && sita2 > 0)
        return true;
    return false;
}

bool isInterset(ll x, ll y, ll r, ll posX[], ll posY[])
{
    ll d1 = Distance(x, y, posX[0], posY[0]);
    ll d2 = Distance(x, y, posX[1], posY[1]);
    ll d3 = Distance(x, y, posX[2], posY[2]);
    ll d = r*r;
    if (d1 < d && d2 < d && d3 < d)
        return false;
    if (d1 > d && d2 > d && d3>d)
    {
        bool f = false;     
        f = f || isSegmentCircle(x, y,r, posX[0], posY[0], posX[1], posY[1]);
        f = f || isSegmentCircle(x, y,r, posX[1], posY[1], posX[2], posY[2]);
        f = f || isSegmentCircle(x, y,r, posX[2], posY[2], posX[0], posY[0]);
        return f;
    }
    return true;
}

int main()
{
//  freopen("input.txt", "r", stdin);
    int T;
    cin >> T;
    ll x, y, r;
    ll posX[3];
    ll posY[3];
    while (T--)
    {
        scanf("%lld%lld%lld", &x, &y, &r);
        for (int i = 0; i < 3; ++i)
            scanf("%lld%lld", &posX[i], &posY[i]);
        if (isInterset(x, y, r, posX, posY))
            cout << "Yes\n";
        else
            cout << "No\n";
    }
    return 0;
}

思路參考自 http://blog.csdn.net/f_zyj/article/details/52066901