圖
實際問題舉例引入
生活中有地圖，交通圖，網絡圖，架構圖等，都屬於圖論的內容。例如鄉村分佈圖如下：
生活中一個實際問題就是如果要從一個村子走到另一個村子，怎麼走最短，如何一次把所有村子走且只走一遍。就涉及到最短路徑問題和圖的遍歷問題。 所以生活中圖的例子是無處不在的，問題和需求也是無處不在的。
圖的基本概念
圖是表示任意兩個數據點之間某個特定關係的數據結構。在圖中任意兩個節點之間的關係可以是任意的。可以相連可以不相連，可以是有向的和無向的。
定義 G=(V, E)
圖(graph) G=(V, E)由頂點(vertex) 的集V和邊(edge) 的集E組成。每一條邊就是一個點對(v, w)，其中v, w∈V。有時也把邊稱作弧(arc)。 如果點對是有序的，那麼圖就叫作有向的圖。有向的圖有時也叫作有向圖(digraph)。頂點v和w鄰接(adjacent) 當且僅當(v, w)∈E。在一個具。有邊(v, w)從而具有邊(w, v)的無向圖中，w和v鄰接且也和w鄰接。有時候邊還具有第三種成分，稱作權(weight) 或值(cost)。
在圖中，至少得有一個頂點，但邊集可以爲空。
圖的相關術語
無向圖： 圖中各頂點之間的邊沒有方向，即頂點i和j之間是互通的。<v,w>表示v和w可以互相到達。
有向圖：有向圖中頂點之間的邊是由方向的，<v,w>表示可以從v到w，但不一定可以從w到v
簡單圖：圖中不存在重複的邊或者形成迴路的邊。
鄰接點：如果(v,w)是無向圖中任意一條邊,那麼稱v和w互爲鄰接點;如果（v,w）是有向圖中任意一條邊,那麼稱起點v鄰接到終點w,也稱終點w鄰接自起點v。
路徑、簡單路徑、迴路、無環路： 一個兩兩有邊相連的頂點序列。
無向完全圖：在一個無向圖中，如果任意兩個頂點都有一條邊相連接，則稱該圖爲無向完全圖。
有向完全圖：在一個有向圖中，如果任意兩頂點之間都由方向互爲相反的兩條弧相連接，則該圖爲有向完全圖。
頂點的度：出度和入度。出度是指以頂點v爲起點的邊的條數。入度是以頂點v爲終點的邊的條數。
稠密圖： 若一個圖的邊數接近完全圖的邊數，稱這樣的圖爲稠密圖。
稀疏圖： 邊數極少的圖。
權： 邊附帶的信息稱爲權。在地圖中的邊通常附帶有距離信息。
網圖： 邊上 帶權的圖。 無向網圖 有向網圖。
子圖： 對於圖G=(V,E)和G’=(V’,E’),若滿足V’是V的子集,並且E’是E的子集,則稱圖G’是G的一個子圖。
連通圖、連通分量:在無向圖中,如果從一個頂點vi,到另一個頂點vj,(i≠j)有路徑,則稱頂點vi和vj,是連通的。如果圖中任意兩頂點都是連通的,則稱該圖是連通圖。無向圖的極大連通子圖稱爲連通分量。連通分量的概念包
含以下4個要點:
●子圖:連通分量應該是原圖的子圖;
●連通:連通分量本身應該是連通的;
●極大頂點數:連通子圖含有極大頂點數,即再加入其他頂點將會導致子圖不連通;
●極大邊數:具有極大頂點數的連通子圖包含依附於這些頂點的所有邊。
如圖所示，圖中無向圖G3是一個非連通圖，因爲A和E沒有連通。G3有兩個連通分量，就是圖(b)和圖©，首先它們是G3的子圖，並且連通。再加入圖G3的任意一個頂點就不連通了，所以滿足極大頂點數，同時也滿足極大邊數。 而(d)就不是連通分量，因爲不滿足極大頂點數。
強連通圖 、 強連通分量:對於有向圖來說,若圖中任意一對頂點vi和vj,(i≠j)均既有從vi到vj的路徑,也有從vj到vi的路徑，則稱該有向圖是強連通圖。有向圖的極大強連通子圖稱爲強連通分量。
強連通只對於有向圖而言，無向連通圖一定是強連通圖。並且有向強連通圖中每個頂點必須得有入度和出度。
G4是有向非強連通圖，因爲D頂點只有入度沒有出度。 有兩個強連通分量，如圖(b)©。而(d)不是圖G4的子圖，同時也不是強連通的。
生成樹: 所謂連通圖G的生成樹,是G的包含其全部n個頂點的一個極小連通子圖。它必定包含且僅包含G的n-1條邊。圖6.8中連通圖G,有4個頂點,任何包含這全部4個頂點的有3條邊的連通子圖都是G的生成樹。顯然,生成樹有可能不唯一。
生成樹滿足下面4個條件之一：
- G有n-1條邊，且沒有環。 如果有環 則必定不是連通圖。
- G有n-1條邊，且是連通的，即沒有環。
- G中的每一對頂點有且僅有一條路徑相連。 兩個頂點之間的路徑唯一。
- G是連通的，刪除任意一邊之後不連通。
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如圖中(b)©(d)都是圖(a)的生成樹。
生成森林:在非連通圖中,由於每個連通分量都是一個極小連通子圖,即一棵生成樹可以對應-一個連通分量。對應各個連通分量的各棵生成樹就組成了一個圖的生成森林。對無向圖而言,一個圖的生成森林中樹的數量就等於它的連通分量數。 對有向圖來說，一個強連通圖可以得到對應的生成樹，且可能不唯一。但是，非強連通圖可能只需用一顆生成樹與之對應。
