算法與數據結構——圖的鄰接矩陣存儲和鄰接表存儲

圖的存儲

鄰接矩陣

用矩陣表示圖中各頂點之間的鄰接關係和權值。假設圖Graph=(V,E)中有n個確定的頂點，V=|v0，v1，v2，v3，v4，v5…vn-1|。對於無權圖，鄰接矩陣可以表示爲：

對於有權圖：

舉例：

右邊的矩陣即爲無向圖中的鄰接矩陣表示。矩陣中第i行j列個元素Gij，若等於1則表示從i到j有邊，若等於0則表示無邊。
特點：

1. 無向圖鄰接矩陣關於主對角線對稱，並且主對角線上的元素全爲0 。
2. 對於無向圖，第i行（或第i列）非0元素的個數就是第i個頂點的度。對於有向圖，第i行非0元素的個數就是第i個頂點的出入，第i列非0元素的個數就第i個元素的入度。
3. 檢測每對頂點是否有邊的時間代價是o(n^2)。

代碼示例：

/* 圖的鄰接矩陣表示法 */
 
#define MaxVertexNum 100    /* 最大頂點數設爲100 */
#define INFINITY 65535        /* ∞設爲雙字節無符號整數的最大值65535*/
typedef int Vertex;         /* 用頂點下標表示頂點,爲整型 */
typedef int WeightType;        /* 邊的權值設爲整型 */
typedef char DataType;        /* 頂點存儲的數據類型設爲字符型 */
 
/* 邊的定義 */
typedef struct ENode *PtrToENode;
struct ENode{
    Vertex V1, V2;      /* 有向邊<V1, V2> */
    WeightType Weight;  /* 權重 */
};
typedef PtrToENode Edge;
        
/* 圖結點的定義 */
typedef struct GNode *PtrToGNode;
struct GNode{
    int Nv;  /* 頂點數 */
    int Ne;  /* 邊數   */
    WeightType G[MaxVertexNum][MaxVertexNum]; /* 鄰接矩陣 */
    DataType Data[MaxVertexNum];      /* 存頂點的數據 */
    /* 注意：很多情況下，頂點無數據，此時Data[]可以不用出現 */
};
typedef PtrToGNode MGraph; /* 以鄰接矩陣存儲的圖類型 */
 
 
 
MGraph CreateGraph( int VertexNum )
{ /* 初始化一個有VertexNum個頂點但沒有邊的圖 */
    Vertex V, W;
    MGraph Graph;
     
    Graph = (MGraph)malloc(sizeof(struct GNode)); /* 建立圖 */
    Graph->Nv = VertexNum;
    Graph->Ne = 0;
    /* 初始化鄰接矩陣 */
    /* 注意：這裏默認頂點編號從0開始，到(Graph->Nv - 1) */
    for (V=0; V<Graph->Nv; V++)
        for (W=0; W<Graph->Nv; W++)  
            Graph->G[V][W] = INFINITY;
             
    return Graph; 
}
        
void InsertEdge( MGraph Graph, Edge E )
{
     /* 插入邊 <V1, V2> */
     Graph->G[E->V1][E->V2] = E->Weight;    
     /* 若是無向圖，還要插入邊<V2, V1> */
     Graph->G[E->V2][E->V1] = E->Weight;
}
 
MGraph BuildGraph()
{
    MGraph Graph;
    Edge E;
    Vertex V;
    int Nv, i;
     
    scanf("%d", &Nv);   /* 讀入頂點個數 */
    Graph = CreateGraph(Nv); /* 初始化有Nv個頂點但沒有邊的圖 */ 
     
    scanf("%d", &(Graph->Ne));   /* 讀入邊數 */
    if ( Graph->Ne != 0 ) { /* 如果有邊 */ 
        E = (Edge)malloc(sizeof(struct ENode)); /* 建立邊結點 */ 
        /* 讀入邊，格式爲"起點 終點 權重"，插入鄰接矩陣 */
        for (i=0; i<Graph->Ne; i++) {
            scanf("%d %d %d", &E->V1, &E->V2, &E->Weight); 
            /* 注意：如果權重不是整型，Weight的讀入格式要改 */
            InsertEdge( Graph, E );
        }
    } 
 
    /* 如果頂點有數據的話，讀入數據 */
    for (V=0; V<Graph->Nv; V++) 
        scanf(" %c", &(Graph->Data[V]));
 
    return Graph;
}

鄰接矩陣的不足：

1. 對於稀疏圖來說浪費的空間過多，並且查詢邊的效率低。

鄰接表

鄰接表是一種順序存儲與鏈式存儲相結合的方法。對於圖G中的每個頂點vi，將所有鄰接於vi的頂點vj連稱一個單鏈表，這個單鏈表就稱爲頂點vi的鄰接表。再將所有的鄰接表表頭放到一個數組中，就構成了圖的鄰接表。
如圖：

鄰接表在頂點非常多，但比較稀疏時合算。

代碼：

/* 圖的鄰接表表示法 */
 
#define MaxVertexNum 100    /* 最大頂點數設爲100 */
typedef int Vertex;         /* 用頂點下標表示頂點,爲整型 */
typedef int WeightType;        /* 邊的權值設爲整型 */
typedef char DataType;        /* 頂點存儲的數據類型設爲字符型 */
 
/* 邊的定義 */
typedef struct ENode *PtrToENode;
struct ENode{
    Vertex V1, V2;      /* 有向邊<V1, V2> */
    WeightType Weight;  /* 權重 */
};
typedef PtrToENode Edge;
 
/* 鄰接點的定義 */
typedef struct AdjVNode *PtrToAdjVNode; 
struct AdjVNode{
    Vertex AdjV;        /* 鄰接點下標 */
    WeightType Weight;  /* 邊權重 */
    PtrToAdjVNode Next;    /* 指向下一個鄰接點的指針 */
};
 
/* 頂點表頭結點的定義 */
typedef struct Vnode{
    PtrToAdjVNode FirstEdge;/* 邊表頭指針 */
    DataType Data;            /* 存頂點的數據 */
    /* 注意：很多情況下，頂點無數據，此時Data可以不用出現 */
} AdjList[MaxVertexNum];    /* AdjList是鄰接表類型 */
 
/* 圖結點的定義 */
typedef struct GNode *PtrToGNode;
struct GNode{  
    int Nv;     /* 頂點數 */
    int Ne;     /* 邊數   */
    AdjList G;  /* 鄰接表 */
};
typedef PtrToGNode LGraph; /* 以鄰接表方式存儲的圖類型 */
 
 
 
LGraph CreateGraph( int VertexNum )
{ /* 初始化一個有VertexNum個頂點但沒有邊的圖 */
    Vertex V;
    LGraph Graph;
     
    Graph = (LGraph)malloc( sizeof(struct GNode) ); /* 建立圖 */
    Graph->Nv = VertexNum;
    Graph->Ne = 0;
    /* 初始化鄰接表頭指針 */
    /* 注意：這裏默認頂點編號從0開始，到(Graph->Nv - 1) */
       for (V=0; V<Graph->Nv; V++)
        Graph->G[V].FirstEdge = NULL;
             
    return Graph; 
}
        
void InsertEdge( LGraph Graph, Edge E )
{
    PtrToAdjVNode NewNode;
     
    /* 插入邊 <V1, V2> */
    /* 爲V2建立新的鄰接點 */
    NewNode = (PtrToAdjVNode)malloc(sizeof(struct AdjVNode));
    NewNode->AdjV = E->V2;
    NewNode->Weight = E->Weight;
    /* 將V2插入V1的表頭 */
    NewNode->Next = Graph->G[E->V1].FirstEdge;
    Graph->G[E->V1].FirstEdge = NewNode;
         
    /* 若是無向圖，還要插入邊 <V2, V1> */
    /* 爲V1建立新的鄰接點 */
    NewNode = (PtrToAdjVNode)malloc(sizeof(struct AdjVNode));
    NewNode->AdjV = E->V1;
    NewNode->Weight = E->Weight;
    /* 將V1插入V2的表頭 */
    NewNode->Next = Graph->G[E->V2].FirstEdge;
    Graph->G[E->V2].FirstEdge = NewNode;
}
 
LGraph BuildGraph()
{
    LGraph Graph;
    Edge E;
    Vertex V;
    int Nv, i;
     
    scanf("%d", &Nv);   /* 讀入頂點個數 */
    Graph = CreateGraph(Nv); /* 初始化有Nv個頂點但沒有邊的圖 */ 
     
    scanf("%d", &(Graph->Ne));   /* 讀入邊數 */
    if ( Graph->Ne != 0 ) { /* 如果有邊 */ 
        E = (Edge)malloc( sizeof(struct ENode) ); /* 建立邊結點 */ 
        /* 讀入邊，格式爲"起點 終點 權重"，插入鄰接矩陣 */
        for (i=0; i<Graph->Ne; i++) {
            scanf("%d %d %d", &E->V1, &E->V2, &E->Weight); 
            /* 注意：如果權重不是整型，Weight的讀入格式要改 */
            InsertEdge( Graph, E );
        }
    } 
 
    /* 如果頂點有數據的話，讀入數據 */
    for (V=0; V<Graph->Nv; V++) 
        scanf(" %c", &(Graph->G[V].Data));
 
    return Graph;
}