分治算法与快排

分治算法(D&C)

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分治算法是一种思想，他把一个大问题缩小为规模比较小的问题，小问题得到解决之后，大问题也随之解决。分治算法通常利用递归来实现。利用递归实现的步骤如下：

1. 明确递归函数的返回值；
2. 寻找基线条件，这种条件务必简单；
3. 实现递归体：不断将问题分解（缩小问题规模），直到符合基线条件；

例如，我们有一块土地，尺寸为 $1680*640m^2$，现要求把这块土地划分为均匀的方块且要求尽可能的大，如何进行划分呢?

我们利用分治思想来解决这个问题，分治算法的核心在于缩小问题的规模，$1680*640m^2$的方块可以划分为$640*640m^2，640*640m^2，640*400m^2$三个方块，其中，$640*640m^2$是在现有基础之上能够划分的最大方块。图示如下所示：

我们的问题现在缩小到在方块 $640*400m^2$ 中寻找最大切分方块。余下的操作以此类推…。那何时停止呢？直到方块缩小到两边长成倍数关系，即可停止。最终的切分图如下所示：

经过分治算法的处理可以得到最大的切分方块为 $80*80$。

利用分治算法解决数据累加

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假设要用分治算法实现列表：$[1, 2, 3, 4]$ 的累加和。我们定义一个递归函数，用于计算列表的累加和；首先要明确 D&C 的两个问题：

1. 基线条件：当列表只有一个元素时，返回元素值；
2. 递归体：缩小列表规模：

def addlist(arr):
    if len(arr) == 1: # 定义基线条件
        return arr[0]
    elif len(arr) == 0:
        return 0
    else: # 定义递归体
        return arr[0]+addlist(arr[1:])
        
print(addlist([1, 2, 3, 4])) # 10

利用分治算法找出列表中的最大数**

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1. 基线条件：列表元素只有一个；
2. 递归条件：缩小问题规模，计算剩下列表中最大数；

def calListMax(arr):
    if len(arr) == 0:
        return 0

    if len(arr) == 1: # 基线条件
        return arr[0]

    value = calListMax(arr[1:])
    if arr[0] <= value:
        return value;
    else:
        return arr[0];

print(calListMax([2, 9, 2, 5, 23, 62, 34])) # 62

利用分治算法实现二分查找

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1. 基线条件：找到标签或没有标签;
2. 递归体：见代码

# 列表不作为参数，可以提高递归的执行效率
arr = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10]

def binary_sort(lowIndex, hightIndex, value):
    if len(arr) == 0:
        return -1

    if lowIndex > hightIndex:
        return -1
    else:
        mid = (lowIndex+hightIndex)//2;
        if value == arr[mid]:
            return mid;
        elif value < arr[mid]:
            hightIndex = mid-1
        else:
            lowIndex = mid+1

        return binary_sort(lowIndex, hightIndex, value)

print(binary_sort(0, len(arr)-1, 8)) # 7

快速排序

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快速排序是一种常用的排序算法，比选择排序快得多。例如， C语言标准库中的函数 qsort 实现的就是快速排序。快速排序也使用了D&C。快速排序的思想流程如下：假设要对列表 $[33, 15, 10]$ 进行排序，如下所示：

首先选择一个基准值，比基准值小的数据放在基准值的左边，比基准值大的数据放在基准值的右边，如下所示：

然后对左区列表和右区列表执行上述相同的操作。其代码如下：

def quick_sort(arr):
    if len(arr) <= 1: # 基线条件
        return arr[0]
    else: # 递归体
        pivot = array[0] # 基准值
        less = [i for i in array[1:] if i <= pivot] # 小于基准值的数列
        greater = [i for i in array[1:] if i > pivot] # 大于基准值的数列
        return quicksort(less) + [pivot] + quicksort(greater)    

快速排序的时间复杂度

快速排序的平均时间复杂度是：$O(nlogn)$；在最糟糕情况下时间复杂度为：$O(n^2)$。
时间复杂度为 $O(nlogn)$ 的情况，此时基准值取的列表的中间值：

当对一个有序数列进行快排且基准值取第一个值时，时间复杂度会是$O(n^2)$，如下图所示：

递归调用的层数如下：

总结

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1. D&C将问题缩小为更小规模进行解决。使用D&C处理列表时，基线条件是空数组或单元素数组；
2. 实现快排时，请随机地选择基准值的元素。快排的平均运行时间为$O(nlogn)$；
3. 大O表示法中的常量有时候事关重大；