RSA是第一個也是使用的最廣發的公鑰加密算法，在1978年由R.Rivest、AdiShamir和Adleman三人發明，並以他們的名字命名。RSA算法的安全性基於大數因子分解的困難性，下面介紹一下它的基本原理：
1、生成公鑰和私鑰
(1) 選取兩個大素數：p和q；
(2)計算n=p*q；
(3)計算小於n並且與n互質的整數的個數，即歐拉函數o(n) = (p - 1) * (q - 1)；
(4)隨機選擇加密密鑰e， 使1<e<o(n)， 且與o(n)互質；
(5)最後，利用歐幾里得算法計算解密密鑰，使其滿足ed = 1(mod o(n))；
然後將(e, n)公開，即爲公鑰PK，私人保存好d,即爲私鑰SK;
2、加密
將明文m分解成等長數據塊m1，m2， ……，mi。加密時，按如下公式進行計算即可：
ci=（mi）^ e（mod n），密文c則由c1，c2，……ci組成。
3、解密
與加密一樣，按如下公式進行計算：
mi=（ci）^d（mod n），明文m則由m1，m2，……，mi組成。
以上就是RSA算法的公私鑰產生、加密和解密的過程。整個過程中，最難理解的部分應是1.5中的求私鑰d,很多課本提到的都是歐幾里德算法，但並未具體的計算過程，下面本人就通過一個實例向大家介紹歐幾里德算法在RSA中的應用。
例：令p=47，q=71，求用RSA算法加密的公鑰和私鑰。
計算如下：
（1）n=pq=47*71=3337；
（2）Ø（n）=（p-1）*（q-1）=46*70=3220；
（3）隨機選取e=79（滿足與3220互質的條件）；
（4）則私鑰d應該滿足：79*d mod 3220 = 1；
那麼這個式子（4）如何解呢？這裏就要用到歐幾里得算法（又稱輾轉相除法），解法如下：
（a）式子（4）可以表示成79*d-3220*k=1（其中k爲正整數）；
（b）將3220對79取模得到的餘數60代替3220，則變爲79*d-60*k=1；
（c）同理，將79對60取模得到的餘數19代替79，則變爲19*d-60*k=1；
（d）同理，將60對19取模得到的餘數3代替60，則變爲19*d-3*k=1；
（e）同理，將19對3取模得到的餘數1代替19，則變爲d-3*k=1；
當d的係數最後化爲1時，
令k=0，代入（e）式中，得d=1；
將d=1代入（d）式，得k=6；
將k=6代入（c）式，得d=19；
將d=19代入（b）式，得k=25；
將k=25代入（a）式，得d=1019，這個值即我們要求的私鑰d的最終值。
此時，我們即可得到公鑰PK=（e，n）={79，3337}，私鑰SK={1019，3337}，後面的加密和解密直接套相應公式即可。
現在給個字符"C"，我們再來演繹如何加解密。
取質數13和7
(1) n = 13*7 = 91
(2)o(n) = 12 * 6 = 72
(3)取72互質的數：5
(4)則私鑰應該滿足：5*d mod72=1
即：5 * d - 72 * K = 1 ---------------@2
將72 % 5得2替代72，則5*d - 2 * k = 1 -------------- @1
將5 % 2得1替代5，則d - 2 * k = 1
令k = 0, 得d = 1
將d = 1 代入@1中，則k = 2
將k = 2代入@2中， 則d = 29
此時，我們即可得到公鑰PK=（e，n）={5， 91}，私鑰SK={29， 91}
字符“C”對應的ascii碼錶值爲67
67 * 67 mode 91= 30
30 * 67 mode 91= 8
8 * 67 mode 91 = 81
81 * 67 mod 91 = 58
以此方式連續乘次數爲5次(公鑰)，最後得到加密數值 58
若要解密這個數值58，以上述相同方式連續乘以自己29次，即可得到解密數值 67。
參考文章：
http://8btc.com/thread-1240-1-1.html
http://blog.sina.com.cn/s/blog_4fcd1ea30100yh3a.html