【算法拾遺】階乘

轉載請註明出處：http://blog.csdn.net/ns_code/article/details/28335353

前言

    主要看兩道有關階乘的題目，從中可以看出一些規律來。

題目一

    N！末尾0的個數

    找末尾0出現的個數，那我們就要找產生0的乘數，即哪些數相乘會得到10。我們需要對N！進行質因數分解，由於10 = 2*5，因此0的個數至於N！中2和5出現的的對數有關，而能被2整除的數出現的頻率比能被5整除的數要多得多，因此我們找出N！中質因數5出現的個數，即爲N！末尾0的個數。

    方法一

    最直接的方法，就是計算1-N中每個數的因式分解中5的個數，然後相加，代碼如下：

int FactorialNum0_1(int n)
{
	int count = 0;
	int i;
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		int j = i;
		while(j%5 == 0)
		{
			count++;
			j /= 5;
		}
	}
	return count;
}

    這種方法的時間複雜度爲O(n)。

    方法二

    方法一中對不含質因數5的數也進行了判斷，時間複雜度較高。

    第二種方法要用到如下結論：

    N！中含有的質因數k的個數爲：[N/k]+[N/k^2]+[N/k^3]+...（總會存在一個t,使得k^t>N,便有[N/k^t]=0）

    這個公式的證明並不難，自己嘗試去理解下，其中[N/k]等於1，2，3...N中能被k整除的數的個數。

    用該方法寫成的代碼如下;

int FactorialNum0_2(int n)
{
	int count = 0;
	while(n)
	{
		count += n/5;
		n /= 5;
	}
	return count;
}

    該方法的時間複雜度爲O(log5n)(這裏是以5爲底n的對數)。

題目二

    N！二進制表示中最低位1的位置

    比如3！爲6，二進制爲1010，那麼最低位的1的位置爲2，這裏最左邊的位置從1開始計算。

    方法一

    我們假設最低位的1的位置爲第k位，則N！=2^(k-1)+...+2^t+...+2^p+...，這裏t，p等意味着後面的第t+1位，第p+1位也爲1，且p>t>k。這樣很容易看出來，N！中質因數2的個數爲k-1個，也就是說，最低位1的位置即爲N！中質因數2的個數加1，因此問題又轉化爲了求N！中質因數2的個數了，同樣利用結論：

N！中含有的質因數k的個數爲：[N/k]+[N/k^2]+[N/k^3]+...（總會存在一個t,使得k^t>N,便有[N/k^t]=0）

    這樣寫出的代碼如下：

int Lowest1(int n)
{
	int count = 0;
	while(n)
	{
		count += n/2;
		n /= 2;
	}
	return count + 1;
}

    該方法時間複雜度爲O(log2n)(這裏是以2爲底n的對數)。

    方法二

    用如下結論：N！中含有質因數2的個數，等於N減去N的二進制表示中1的個數，關於如何求N的二進制表示中1的個數，參考我的這篇博文；http://blog.csdn.net/ns_code/article/details/25425577，最快的方法的操作步驟只與二進制中1的個數相等，因此這種方法的時間複雜度更好一些，雖然方法一已經很快了，這種方法的時間複雜度爲O(k)，其中k爲N！中1的個數。這種方法的代碼不再給出。