Link-Cut-Tree 動態樹算法總結
動態樹是一類要求維護森林連通性的算法總稱，其中最常用的就是lct (Link-Cut-Tree).
lct 支持一下操作
鏈上求和
鏈上求最值
鏈上修改 （前三項均可用樹鏈剖分+線段樹實現）
斷開樹上的一條邊
連接兩個點，保證連接後仍然是一棵樹
判斷森林連通性
說到lct，自然需要引入一些概念：
![]()
Preferred Child：重兒子(爲了便於理解這裏沿用樹鏈剖分中的命名)，重兒子與父親節點同在一棵Splay中，一個節點最多隻能有一個重兒子
Preferred Edge：重(zhòng)邊，連接父親節點和重兒子的邊
Preferred Path：重鏈，由重邊及重邊連接的節點構成的鏈
由一條重鏈上的所有節點所構成的Splay稱作這條鏈的輔助樹
每個點的關鍵值爲這個點的深度，即這棵Splay的中序遍歷是這條鏈從鏈頂到鏈底的所有節點構成的序列
輔助樹的根節點的父親指向鏈頂的父親節點，然而鏈頂的父親節點的兒子並不指向輔助樹的根節點
原樹與輔助樹的關係
原樹中的重鏈 -> 輔助樹中兩個節點位於同一棵Splay中
原樹中的輕鏈 -> 輔助樹中子節點所在Splay的根節點的father指向父節點（參見上圖）
注意原樹與輔助樹的結構並不相同
輔助樹的根節點≠原樹的根節點
輔助樹中的father≠原樹中的father
由於要維護的信息已經都在輔助樹中維護了，所以LCT無需維護原樹，只維護輔助樹即可，也就是在實際程序中是不存在原樹的，即使是原樹的換根操作也只是通過輔助樹來間接完成。
輕鏈和重鏈並不是固定的，隨着算法的進行，輕鏈和重鏈隨算法需要和題目要求而變化，然而無論怎麼變化，由這棵輔助樹一定能生成原樹，並滿足輔助樹的所有性質
這裏重點說一下換根操作，也是我剛開始卡住的地方
換根實際上是完成下圖的操作：
注意這轉的是原樹！！！！
那麼假設1，2，3這三個點在一個splay樹中，因爲splay是以深度爲關鍵字建樹的，所有隨着原樹中根的改變，本身的深度就發生了變化，原先最深的是3號節點，而換根之後最深的就變成了1號節點，那麼我們對splay進行翻轉操作，將他的左右子樹進行交換，就可以實現深度的更新，很神奇啊！
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define N 2000003
using namespace std;
int n,m;
int ch[N][3],fa[N],next[N],size[N],st[N],rev[N],top;
int isroot(int x) //是否是輔助樹的鏈頂,即當前splay 的根
{
return ch[fa[x]][0]!=x&&ch[fa[x]][1]!=x;//他父親的左右兒子都不是他，輔助樹的根節點的父親指向鏈頂的父親節點，然而鏈頂的父親節點的兒子並不指向輔助樹的根節點
}
void update(int x)
{
size[x]=size[ch[x][0]]+size[ch[x][1]]+1;
}
void pushdown(int x)
{
if (!x) return;
if (rev[x])
{
swap(ch[x][0],ch[x][1]);
rev[ch[x][0]]^=1; rev[ch[x][1]]^=1; rev[x]=0;
}
}
int get(int x)
{
return ch[fa[x]][1]==x;
}
void rotate(int x)
{
int y=fa[x],z=fa[y],l,r;
l=get(x); r=l^1;
if(!isroot(y))
ch[z][ch[z][1]==y]=x;
ch[y][l]=ch[x][r]; fa[ch[y][l]]=y;//很神奇，這兩行放到if前就會TLE
ch[x][r]=y; fa[y]=x; fa[x]=z;//因爲更改了fa[y]的緣故，單純的splay if 語句中判斷的是z是否爲根，所有不影響，但是lct 中splay與單純的splay有細節上的差別
}
void splay(int x)
{
top=0; st[++top]=x;
for (int i=x;!isroot(i);i=fa[i])
st[++top]=fa[i];
for (int i=top;i>=0;i--) pushdown(st[i]);//由於找節點並非自上至下，故操作之前需預先將節點到輔助樹根的標記全下傳一遍，注意翻轉標記只會影響當前這顆樹，不會改變整顆樹中的順序。
while(!isroot(x))
{
int y=fa[x];
if (!isroot(y)) //判斷y 是否是輔助樹中的根節點
rotate(get(x)==get(y)?y:x); //splay 之字形旋轉
rotate(x);
}
}
void access(int x) //將一個點與原先的重兒子切斷，並使這個點到根路徑上的邊全都變爲重邊，執行Access(x)函數後這個節點到根的路徑上的所有節點形成了一棵Splay，便於操作或查詢節點到根路徑上的所有節點
{
int t=0;
while (x)
{
splay(x);//將x 轉到輔助樹的根節點
ch[x][1]=t; //將x 原來的重兒子斬斷 ，但是x的重兒子並未斬斷與x的關係，也就是重兒子只是當前存儲了當前的路徑，是不斷改變的，下一次詢問時還可以重新通過fa記錄的關係得到一條新的重鏈，保證了原樹的信息
t=x; x=fa[x];
}
}
void rever(int x) //換根，換根換的是原樹的根，是把x在原樹中正常轉動到根結點，在原樹轉動之後，那麼原樹中對應的深度也相應發生了變化，因爲splay維護的是原樹的信息，並且是以深度爲關鍵字建樹，所有樹的形態發生翻轉，以保證可以通過splay還原原樹。有一點需要注意就是原樹其實不需要維護，他是虛擬的不存在的
{
access(x); splay(x); rev[x]^=1; //注意Access(x)之後x不一定是Splay的根節點 所以Access之後通常還要Splay一下
}
void cut(int x,int y) //先把x轉到他所在鏈的根，
{
rever(x); //這裏之所以要把x轉到他所在子樹的根是因爲lct可以維護多棵樹，並支持合併，但是如果連接是ｘ不是他所在樹的根的話，那麼他之前一定有一個父親節點，連接時就會發生混亂。
access(y); splay(y); ch[y][0]=fa[x]=0; //因爲原樹換根後，x,y的位置關係發生了改變，所有y 砍掉的是左兒子，而不是右兒子！！
}
void link(int x,int y) //連接，建立新的父子關係
{
rever(x); fa[x]=y; splay(x);
}
int find (int x) //判斷森林連通性，因爲一顆輔助splay的父親不一定是當前根的父親，而是重鏈的的鏈頂的父親，因爲splay是以深度爲關鍵字建樹，所有我們要不停的向左子樹方向尋找。
{
access(x); splay(x);
while(ch[x][0]) x=ch[x][0];
return x;
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
for (int i=1;i<=m;i++)
{
char s[10]; int x,y; scanf("%s%d%d",s,&x,&y);
if (s[0]=='Q')
{
if (find(x)==find(y)) printf("Yes\n");
else printf("No\n");
}
else
if (s[0]=='C')
link(x,y);
else
cut(x,y);
}
}