[Codeforces1301E]Nanosoft

題意

給你一個$n\times m$的只包含四種顏色的網格。

$q$此詢問，每次問一個矩陣中所包含的形如以下格式的$Logo$的最大面積

$1\le n,m\le500,1\le q\le3\cdot10^5$

題解

$1.$如何確定包含某個點的最大純色正方形?

只考慮以點$(i,j)$爲右下角的顏色爲$p$的最大正方形的邊長,設其爲$L_{p,i,j}$.

則有:
$L_{p,i,j}=\left\{ \begin{aligned} & 0 & , color_{i,j}\neq p\\ & \min\{L_{p,i-1,j},L_{p,i,j-1},L_{p,i-1,j-1}\}+1 & , color_{i,j}=p \end{aligned}\right.$

$2.$如何確定包含某個點的最大的$Logo$?

考慮紅色方塊的右下角$(i,j)$,則邊長爲$2k$的$Logo$合法的充要條件爲:

$L_{R,i,j}\ge k{\rm\ and\ }L_{G,i,j+k}\ge k{\rm\ and\ }L_{B,i+k,j+k}\ge k{\rm\ and\ }L_{Y,i+k,j}\ge k$

當存在這樣的$i,j,k$滿足上述條件時,記$S_{k,i,j}=1$.

$3.$如何確定某個矩陣內的最大$Logo$?

先考慮如何判定邊長爲$2k$的$Logo$是否存在.

因爲所記錄的$(i,j)$爲紅色方塊的右下角,故可以確定$(i,j)$的選點範圍爲子矩陣$:$

$r_1-k+1\le i\le r_2-k,c_1-k+1\le j\le c_2-k$

如果存在這樣的$Logo$,也就是子矩陣中存在$S_{k,i,j}=1$,也就是子矩陣內$\sum S_{k,i,j}>0$.

可以發現$k$的有單調性的,故可以通過二分找到最大的$k$.

$4.$考慮另外一種思路

在第二步時記滿足條件式的最大的$k$爲$f_{i,j}$.

那麼在第三步時的判定條件將變爲$:$子矩陣中$\max f_{i,j}\ge k$.

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總結下來題目體質就是求矩陣和或矩陣最大值.

具體方法爲:

$a)$預處理前綴和,差分,時間複雜度$O(n^3+q\log n)$,空間複雜度$O(n^3)$.

inline void Prepare(){
    for(int i=1;i<=n;++i)
        for(int j=1;j<=n;++j)
            for(k=min(min(i,n-i),min(j,m-j));k>=1;--k){
                S[k][i][j]=S[k][i-1][j]+S[k][i][j-1]-S[k][i-1][j-1];
                if(L[0][i][j]>=k&&L[1][i][j+k]>=k&&L[2][i+k][j+k]>=k&&L[3][i+k][j]>=k){
                    for(int l=k;l>=1;--l)
                        S[l][i][j]=S[l][i-1][j]+S[l][i][j-1]-S[l][i-1][j-1]+1;
                    break;
                }
            }
}
inline bool Qry(int x1,int y1,int x2,int y2,int k){
    return S[k][x2][y2]-S[k][x1-1][y2]-S[k][x2][y1-1]+S[k][x1-1][y1-1];
}

$b)$二維$ST$表,時間複雜度$O(n^3+q\log n)$,空間複雜度$O(n^2\log^2n)$.

inline void Prepare(){
    for(int i=1;i<=n;++i)
        for(int j=1;j<=n;++j)
            for(k=min(min(i,n-i),min(j,m-j));k>=1;--k)
                if(L[0][i][j]>=k&&L[1][i][j+k]>=k&&L[2][i+k][j+k]>=k&&L[3][i+k][j]>=k){
                    f[0][0][i][j]=k;break;
                }
    for(int k=0;k<=Log[n];++k)
        fp(int l=0;l<=Log[m];++l)
            if(k||l)
                for(int i=1;i+(1<<k)-1<=n;++i)
                    for(int j=1;j+(1<<l)-1<=n;++j)
                        f[k][l][i][j]=l?max(f[k][l-1][i][j],f[k][l-1][i][j+(1<<(l-1))]):
                            max(f[k-1][l][i][j],f[k-1][l][i+(1<<(k-1))][j]);
}
inline bool Qry(int x1,int y1,int x2,int y2,int k){
    int Lx=Log[x2-x1+1],Ly=Log[y2-y1+1];
    return k<=max(max(f[Lx][Ly][x1][y1],f[Lx][Ly][x2-(1<<Lx)+1][y2-(1<<Ly)+1]),
            max(f[Lx][Ly][x2-(1<<Lx)+1][y1],f[Lx][Ly][x1][y2-(1<<Ly)+1]));
}

注意:參照點不止右下角一種選法,參照點選取的不同方案隻影響子矩陣的範圍和判定合法所選取的$L_{p,x,y}$.