[Codeforces1254B]Send Boxes to Alice

題意

$n$盒排成一列的糖果盒，第$i$盒有$a_i$個糖果

每次可以取出某一盒一顆糖果放到相鄰的糖果盒裏

問使得所有盒子的裏的糖果數均能被某個$k(k>1)$整除的最少移動次數

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題解

設糖果總數的$Sum$（顯然$Sum=1$無解）

符合條件的$k$一定滿足$k\mid Sum$

考慮對於一個$k$如何求解最少的移動次數

首先肯定要將所有的$a_i$對$k$取餘

對於一個$a_i$可以將$a_i$顆糖果全部向後挪，於是$a_{i+1}=(a_{i+1}+a_i)\mod k$

也可以從後面挪$k-a_i$顆糖果到$a_i$上，於是$a_{i+1}=a_{i+1}-(k-a_i)\equiv a_{i+1}+a_i \mod k$

設$S_i=\sum_{k=1}^ia_i \mod k$，那麼$Ans=\sum_{i=1}^n\min(S_i,k-S_i)$

通過上面可以發現如果如果$k_1\mid Sum,k_2\mid Sum$，且$k=k_1k_2\mid Sum$

那麼$k$的答案一定不會比$k_1,k_2$優，所以只需要枚舉$Sum$的質因子即可

題目當中$Sum\le10^{12}$，而$2\times3\times5\times\ldots\times37>10^{12}$，所以計算次數不會太多

時間複雜度爲$O(n\times Sum$質因子個數$+\sqrt{Sum})$

using ll=long long;
inline ll Calc(ll p){
	ll Cnt=0,Tmp=0;
	for(int i=1;i<=n;++i)
		Cnt=(Cnt+a[i])%p,Tmp+=min(Cnt,p-Cnt);
	return Tmp;
}
inline void Sol(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;++i)
		scanf("%d",a+i),Sum+=a[i];
	if(Sum<2)
		return(void)puts("-1");
	Ans=-1ull>>1;
	for(int i=2;(ll)i*i<=Sum;++i)
		if(Sum%i==0){
			while(Sum%i==0)Sum/=i;
			Ans=min(Ans,Calc(i));
		}
	if(Sum>1)
		Ans=min(Ans,Calc(Sum));
	printf("%d\n",Ans);
}