前半部分內容參考自這篇博客
介紹
Bellman-Ford 算法是一種用於計算帶權有向圖中單源最短路徑（SSSP：Single-Source Shortest Path）的算法。該算法由 Richard Bellman 和 Lester Ford 分別發表於 1958 年和 1956 年，而實際上 Edward F. Moore 也在 1957 年發佈了相同的算法，因此，此算法也常被稱爲 Bellman-Ford-Moore 算法。
Bellman-Ford 算法和 Dijkstra 算法同爲解決單源最短路徑的算法。對於帶權有向圖 G = (V, E)，Dijkstra 算法要求圖 G 中邊的權值均爲非負，而 Bellman-Ford 算法能適應一般的情況（即存在負權邊的情況）。一個實現的很好的 Dijkstra 算法比 Bellman-Ford 算法的運行時間要低。
Bellman-Ford 算法採用動態規劃（Dynamic Programming）進行設計，實現的時間複雜度爲 O(V*E)，其中 V 爲頂點數量，E 爲邊的數量。Dijkstra 算法採用貪心算法（Greedy Algorithm）範式進行設計，普通實現的時間複雜度爲 O(V2)，若基於 Fibonacci heap 的最小優先隊列實現版本則時間複雜度爲 O(E + VlogV)。
算法過程
假設圖中的頂點A, B, C, D, E，求頂點A到其他頂點的最短距離。首先初始化A到其他頂點的距離爲無窮大，同時初始化一個待處理頂點庫爲【A】：
距離表：
| A | B | C | D | E |
|---|---|---|---|---|
| 0 | ∞ | ∞ | ∞ | ∞ |
頂點庫：【A】
處理頂點庫中的頂點A：頂點A與B C相鄰，它到另外兩個節點的距離分別是-1，4均小於∞，故更新距離表，並將頂點B、C加入到頂點庫中：
距離表
| A | B | C | D | E |
|---|---|---|---|---|
| 0 | -1 | 4 | ∞ | ∞ |
頂點庫
【B，C】
處理頂點庫中的頂點B：頂點B與C，D，E相鄰，距離分別爲3，2，2。由於A-B-C這條路徑比A-C這條路徑耗時短，故更新頂點C的距離表，同時更新頂點D和E在距離表中的數據，並將頂點D、E加入到頂點庫：
距離表
| A | B | C | D | E |
|---|---|---|---|---|
| 0 | -1 | 2 | 1 | 1 |
頂點庫
【C、D、E】
處理頂點庫中的頂點C：發現C沒有通向其他頂點；
更新頂點庫爲：【D、E】
處理頂點庫的頂點D：頂點D通向頂點C，但是對於C來說，經過D的路徑比不經過D的路徑要費時，所以不做處理；
更新頂點庫爲：【E】
處理頂點庫的頂點E：E通向頂點D，且可以將頂點D的路徑成本降低爲-2，故更新距離表，並將具有新路徑成本的頂點D加入到頂點庫中：
路徑表：
| A | B | C | D | E |
|---|---|---|---|---|
| 0 | -1 | 2 | -2 | 1 |
頂點庫：
【D】
處理頂點庫中的訂點D：D通向B和C，但是不能將B和C的路徑成本進一步降低了，故路徑表不更新，同時頂點庫中沒有其他頂點了，結束整個過程。
JAVA實現
輸入：
int[][] weights：二維數組，表示起點、終點及對應的路徑權重，例如：
int[][] weights= {
{2,1,1},
{2,3,1},
{3,4,1}
};
表示下面這個圖：
N：表示節點的個數，上面這個圖的N爲4
K：表示起點
輸出：
int[] path：從節點K出發，到其他所有節點的最短路徑數組。
例如對於上面的圖來說，起點爲節點2時，輸出的path爲：
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 0 | 1 | 2 |
class Solution {
public int[] bellmanFord(int[][] weights, int N, int K) {
// 由路徑權重數組重構這個圖
int[][] graph = new int[N+1][N+1];
for(int i=0;i<N+1;i++)
// graph中的路徑權重爲-1時表示該邊不存在
Arrays.fill(graph[i], -1);
for(int[] w: weights)
graph[w[0]][w[1]] =w[2];
// path[i]表示第K到第i個節點時間
int[] path=new int[N+1];
// 初始時，默認起點到起點的時間爲0；起點到其他節點的時間爲無窮大
Arrays.fill(path, Integer.MAX_VALUE);
path[K] = 0;
// nodes保存等待處理的節點
Queue<Integer> nodes= new LinkedList<>();
nodes.offer(K);
while(nodes.size()>0) {
int curNode= nodes.poll();
for(int i=1;i<=N;i++) {
if(i==curNode||graph[curNode][i]==-1) continue;
int curPath = path[curNode]+graph[curNode][i];
if(curPath<path[i]) {
nodes.offer(i);
path[i] = curPath;
}
}
}
return path;
}
}