機器學習入門筆記---數學基礎知識總結

數學基礎知識

數據科學需要一定的數學基礎，但僅僅做應用的話，如果時間不多，不用學太深，瞭解基本公式即可，遇到問題再查吧。

下面是常見的一些數學基礎概念，建議大家收藏後再仔細閱讀，遇到不懂的概念可以直接在這裏查~

高等數學

1.導數定義：

導數和微分的概念

$f'({{x}_{0}})=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f({{x}_{0}}+\Delta x)-f({{x}_{0}})}{\Delta x}$ （1）

或者：

$f'({{x}_{0}})=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}}$ （2）

2.左右導數導數的幾何意義和物理意義

函數$f(x)$在$x_0$處的左、右導數分別定義爲：

左導數：${{{f}'}_{-}}({{x}_{0}})=\underset{\Delta x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f({{x}_{0}}+\Delta x)-f({{x}_{0}})}{\Delta x}=\underset{x\to x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}},(x={{x}_{0}}+\Delta x)$

右導數：${{{f}'}_{+}}({{x}_{0}})=\underset{\Delta x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f({{x}_{0}}+\Delta x)-f({{x}_{0}})}{\Delta x}=\underset{x\to x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}}$

3.函數的可導性與連續性之間的關係

Th1: 函數$f(x)$在$x_0$處可微$\Leftrightarrow f(x)$在$x_0$處可導

Th2: 若函數在點$x_0$處可導，則$y=f(x)$在點$x_0$處連續，反之則不成立。即函數連續不一定可導。

Th3: ${f}'({{x}_{0}})$存在$\Leftrightarrow {{{f}'}_{-}}({{x}_{0}})={{{f}'}_{+}}({{x}_{0}})$

4.平面曲線的切線和法線

切線方程 : $y-{{y}_{0}}=f'({{x}_{0}})(x-{{x}_{0}})$
法線方程：$y-{{y}_{0}}=-\frac{1}{f'({{x}_{0}})}(x-{{x}_{0}}),f'({{x}_{0}})\ne 0$

5.四則運算法則
設函數$u=u(x)，v=v(x)$]在點$x$可導則
(1) $(u\pm v{)}'={u}'\pm {v}'$ $d(u\pm v)=du\pm dv$
(2)$(uv{)}'=u{v}'+v{u}'$ $d(uv)=udv+vdu$
(3) $(\frac{u}{v}{)}'=\frac{v{u}'-u{v}'}{{{v}^{2}}}(v\ne 0)$ $d(\frac{u}{v})=\frac{vdu-udv}{{{v}^{2}}}$

6.基本導數與微分表
(1) $y=c$（常數） ${y}'=0$ $dy=0$
(2) $y={{x}^{\alpha }}$($\alpha$爲實數) ${y}'=\alpha {{x}^{\alpha -1}}$ $dy=\alpha {{x}^{\alpha -1}}dx$
(3) $y={{a}^{x}}$ ${y}'={{a}^{x}}\ln a$ $dy={{a}^{x}}\ln adx$
特例: $({{{e}}^{x}}{)}'={{{e}}^{x}}$ $d({{{e}}^{x}})={{{e}}^{x}}dx$

(4) $y={{\log }_{a}}x$ ${y}'=\frac{1}{x\ln a}$

$dy=\frac{1}{x\ln a}dx$
特例:$y=\ln x$ $(\ln x{)}'=\frac{1}{x}$ $d(\ln x)=\frac{1}{x}dx$

(5) $y=\sin x$

${y}'=\cos x$ $d(\sin x)=\cos xdx$

(6) $y=\cos x$

${y}'=-\sin x$ $d(\cos x)=-\sin xdx$

(7) $y=\tan x$

${y}'=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}={{\sec }^{2}}x$ $d(\tan x)={{\sec }^{2}}xdx$
(8) $y=\cot x$ ${y}'=-\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}=-{{\csc }^{2}}x$ $d(\cot x)=-{{\csc }^{2}}xdx$
(9) $y=\sec x$ ${y}'=\sec x\tan x$

$d(\sec x)=\sec x\tan xdx$
(10) $y=\csc x$ ${y}'=-\csc x\cot x$

$d(\csc x)=-\csc x\cot xdx$
(11) $y=\arcsin x$

${y}'=\frac{1}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}$

$d(\arcsin x)=\frac{1}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}dx$
(12) $y=\arccos x$

${y}'=-\frac{1}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}$ $d(\arccos x)=-\frac{1}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}dx$

(13) $y=\arctan x$

${y}'=\frac{1}{1+{{x}^{2}}}$ $d(\arctan x)=\frac{1}{1+{{x}^{2}}}dx$

(14) $y=\operatorname{arc}\cot x$

${y}'=-\frac{1}{1+{{x}^{2}}}$

$d(\operatorname{arc}\cot x)=-\frac{1}{1+{{x}^{2}}}dx$
(15) $y=shx$

${y}'=chx$ $d(shx)=chxdx$

(16) $y=chx$

${y}'=shx$ $d(chx)=shxdx$

7.複合函數，反函數，隱函數以及參數方程所確定的函數的微分法

(1) 反函數的運算法則: 設$y=f(x)$在點$x$的某鄰域內單調連續，在點$x$處可導且${f}'(x)\ne 0$，則其反函數在點$x$所對應的$y$處可導，並且有$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}$
(2) 複合函數的運算法則:若 $\mu =\varphi(x)$ 在點$x$可導,而$y=f(\mu)$在對應點$\mu$($\mu =\varphi (x)$)可導,則複合函數$y=f(\varphi (x))$在點$x$可導,且${y}'={f}'(\mu )\cdot {\varphi }'(x)$
(3) 隱函數導數$\frac{dy}{dx}$的求法一般有三種方法：
1)方程兩邊對$x$求導，要記住$y$是$x$的函數，則$y$的函數是$x$的複合函數.例如$\frac{1}{y}$，${{y}^{2}}$，$ln y$，${{{e}}^{y}}$等均是$x$的複合函數.
對$x$求導應按複合函數連鎖法則做.
2)公式法.由$F(x,y)=0$知 $\frac{dy}{dx}=-\frac{{{{{F}'}}_{x}}(x,y)}{{{{{F}'}}_{y}}(x,y)}$,其中，${{{F}'}_{x}}(x,y)$，
${{{F}'}_{y}}(x,y)$分別表示$F(x,y)$對$x$和$y$的偏導數
3)利用微分形式不變性

8.常用高階導數公式

（1）$({{a}^{x}}){{\,}^{(n)}}={{a}^{x}}{{\ln }^{n}}a\quad (a>{0})\quad \quad ({{{e}}^{x}}){{\,}^{(n)}}={e}{{\,}^{x}}$
（2）$(\sin kx{)}{{\,}^{(n)}}={{k}^{n}}\sin (kx+n\cdot \frac{\pi }{{2}})$
（3）$(\cos kx{)}{{\,}^{(n)}}={{k}^{n}}\cos (kx+n\cdot \frac{\pi }{{2}})$
（4）$({{x}^{m}}){{\,}^{(n)}}=m(m-1)\cdots (m-n+1){{x}^{m-n}}$
（5）$(\ln x){{\,}^{(n)}}={{(-{1})}^{(n-{1})}}\frac{(n-{1})!}{{{x}^{n}}}$
（6）萊布尼茲公式：若$u(x)\,,v(x)$均$n$階可導，則
${{(uv)}^{(n)}}=\sum\limits_{i={0}}^{n}{c_{n}^{i}{{u}^{(i)}}{{v}^{(n-i)}}}$，其中${{u}^{({0})}}=u$，${{v}^{({0})}}=v$

9.微分中值定理，泰勒公式

Th1:(費馬定理)

若函數$f(x)$滿足條件：
(1)函數$f(x)$在${{x}_{0}}$的某鄰域內有定義，並且在此鄰域內恆有
$f(x)\le f({{x}_{0}})$或$f(x)\ge f({{x}_{0}})$,

(2) $f(x)$在${{x}_{0}}$處可導,則有 ${f}'({{x}_{0}})=0$

Th2:(羅爾定理)

設函數$f(x)$滿足條件：
(1)在閉區間$[a,b]$上連續；

(2)在$(a,b)$內可導；

(3)$f(a)=f(b)$；

則在$(a,b)$內一存在個$\xi $，使 ${f}'(\xi )=0$
Th3: (拉格朗日中值定理)

設函數$f(x)$滿足條件：
(1)在$[a,b]$上連續；

(2)在$(a,b)$內可導；

則在$(a,b)$內一存在個$\xi $，使 $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}={f}'(\xi )$

Th4: (柯西中值定理)

設函數$f(x)$，$g(x)$滿足條件：
(1) 在$[a,b]$上連續；

(2) 在$(a,b)$內可導且${f}'(x)$，${g}'(x)$均存在，且${g}'(x)\ne 0$

則在$(a,b)$內存在一個$\xi $，使 $\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{{f}'(\xi )}{{g}'(\xi )}$

10.洛必達法則
法則Ⅰ ($\frac{0}{0}$型)
設函數$f\left( x \right),g\left( x \right)$滿足條件：
$\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=0,\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=0$;

$f\left( x \right),g\left( x \right)$在${{x}_{0}}$的鄰域內可導，(在${{x}_{0}}$處可除外)且${g}'\left( x \right)\ne 0$;

$\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}'\left( x \right)}{{g}'\left( x \right)}$存在(或$\infty $)。

則:
$\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}'\left( x \right)}{{g}'\left( x \right)}$。
法則${{I}'}$ ($\frac{0}{0}$型)設函數$f\left( x \right),g\left( x \right)$滿足條件：
$\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=0,\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=0$;

存在一個$X>0$,當$\left| x \right|>X$時,$f\left( x \right),g\left( x \right)$可導,且${g}'\left( x \right)\ne 0$;$\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}'\left( x \right)}{{g}'\left( x \right)}$存在(或$\infty $)。

則$\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}'\left( x \right)}{{g}'\left( x \right)}$
法則Ⅱ( $\frac{\infty }{\infty }$ 型) 設函數 $f\left( x \right),g\left( x \right)$ 滿足條件：
$\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\infty,\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=\infty$;
$f\left( x \right),g\left( x \right)$ 在 ${{x}_{0}}$ 的鄰域內可導(在${{x}_{0}}$處可除外)且${g}'\left( x \right)\ne 0$;$\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}'\left( x \right)}{{g}'\left( x \right)}$ 存在(或$\infty $)。 則$$\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}'\left( x \right)}{{g}'\left( x \right)}$$ 同理法則${I{I}'}$ ( $\frac{\infty }{\infty }$ 型)仿法則 ${{I}'}$ 可寫出。

11.泰勒公式

設函數$f(x)$在點${{x}_{0}}$處的某鄰域內具有$n+1$階導數，則對該鄰域內異於${{x}_{0}}$的任意點$x$，在${{x}_{0}}$與$x$之間至少存在
一個$\xi$，使得：
$f(x)=f({{x}_{0}})+{f}'({{x}_{0}})(x-{{x}_{0}})+\frac{1}{2!}{f}''({{x}_{0}}){{(x-{{x}_{0}})}^{2}}+\cdots$
$+\frac{{{f}^{(n)}}({{x}_{0}})}{n!}{{(x-{{x}_{0}})}^{n}}+{{R}_{n}}(x)$
其中 ${{R}_{n}}(x)=\frac{{{f}^{(n+1)}}(\xi )}{(n+1)!}{{(x-{{x}_{0}})}^{n+1}}$稱爲$f(x)$在點${{x}_{0}}$處的$n$階泰勒餘項。

令${{x}_{0}}=0$，則$n$階泰勒公式
$f(x)=f(0)+{f}'(0)x+\frac{1}{2!}{f}''(0){{x}^{2}}+\cdots +\frac{{{f}^{(n)}}(0)}{n!}{{x}^{n}}+{{R}_{n}}(x)$……(1)
其中 ${{R}_{n}}(x)=\frac{{{f}^{(n+1)}}(\xi )}{(n+1)!}{{x}^{n+1}}$，$\xi $在0與$x$之間.(1)式稱爲麥克勞林公式

常用五種函數在${{x}_{0}}=0$處的泰勒公式

(1) ${{{e}}^{x}}=1+x+\frac{1}{2!}{{x}^{2}}+\cdots +\frac{1}{n!}{{x}^{n}}+\frac{{{x}^{n+1}}}{(n+1)!}{{e}^{\xi }}$

或 $=1+x+\frac{1}{2!}{{x}^{2}}+\cdots +\frac{1}{n!}{{x}^{n}}+o({{x}^{n}})$

(2) $\sin x=x-\frac{1}{3!}{{x}^{3}}+\cdots +\frac{{{x}^{n}}}{n!}\sin \frac{n\pi }{2}+\frac{{{x}^{n+1}}}{(n+1)!}\sin (\xi +\frac{n+1}{2}\pi )$

或 $=x-\frac{1}{3!}{{x}^{3}}+\cdots +\frac{{{x}^{n}}}{n!}\sin \frac{n\pi }{2}+o({{x}^{n}})$

(3) $\cos x=1-\frac{1}{2!}{{x}^{2}}+\cdots +\frac{{{x}^{n}}}{n!}\cos \frac{n\pi }{2}+\frac{{{x}^{n+1}}}{(n+1)!}\cos (\xi +\frac{n+1}{2}\pi )$

或 $=1-\frac{1}{2!}{{x}^{2}}+\cdots +\frac{{{x}^{n}}}{n!}\cos \frac{n\pi }{2}+o({{x}^{n}})$

(4) $\ln (1+x)=x-\frac{1}{2}{{x}^{2}}+\frac{1}{3}{{x}^{3}}-\cdots +{{(-1)}^{n-1}}\frac{{{x}^{n}}}{n}+\frac{{{(-1)}^{n}}{{x}^{n+1}}}{(n+1){{(1+\xi )}^{n+1}}}$

或 $=x-\frac{1}{2}{{x}^{2}}+\frac{1}{3}{{x}^{3}}-\cdots +{{(-1)}^{n-1}}\frac{{{x}^{n}}}{n}+o({{x}^{n}})$

(5) ${{(1+x)}^{m}}=1+mx+\frac{m(m-1)}{2!}{{x}^{2}}+\cdots +\frac{m(m-1)\cdots (m-n+1)}{n!}{{x}^{n}}$
$+\frac{m(m-1)\cdots (m-n+1)}{(n+1)!}{{x}^{n+1}}{{(1+\xi )}^{m-n-1}}$

或${{(1+x)}^{m}}=1+mx+\frac{m(m-1)}{2!}{{x}^{2}}+\cdots$ ，$+\frac{m(m-1)\cdots (m-n+1)}{n!}{{x}^{n}}+o({{x}^{n}})$

12.函數單調性的判斷
Th1: 設函數$f(x)$在$(a,b)$區間內可導，如果對$\forall x\in (a,b)$，都有$f\,'(x)>0$（或$f\,'(x)<0$），則函數$f(x)$在$(a,b)$內是單調增加的（或單調減少）

Th2: （取極值的必要條件）設函數$f(x)$在${{x}_{0}}$處可導，且在${{x}_{0}}$處取極值，則$f\,'({{x}_{0}})=0$。

Th3: （取極值的第一充分條件）設函數$f(x)$在${{x}_{0}}$的某一鄰域內可微，且$f\,'({{x}_{0}})=0$（或$f(x)$在${{x}_{0}}$處連續，但$f\,'({{x}_{0}})$不存在。）
(1)若當$x$經過${{x}_{0}}$時，$f\,'(x)$由“+”變“-”，則$f({{x}_{0}})$爲極大值；
(2)若當$x$經過${{x}_{0}}$時，$f\,'(x)$由“-”變“+”，則$f({{x}_{0}})$爲極小值；
(3)若$f\,'(x)$經過$x={{x}_{0}}$的兩側不變號，則$f({{x}_{0}})$不是極值。

Th4: (取極值的第二充分條件)設$f(x)$在點${{x}_{0}}$處有$f''(x)\ne 0$，且$f\,'({{x}_{0}})=0$，則 當$f'\,'({{x}_{0}})<0$時，$f({{x}_{0}})$爲極大值；
當$f'\,'({{x}_{0}})>0$時，$f({{x}_{0}})$爲極小值。
注：如果$f'\,'({{x}_{0}})<0$，此方法失效。

13.漸近線的求法
(1)水平漸近線 若$\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=b$，或$\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=b$，則

$y=b$稱爲函數$y=f(x)$的水平漸近線。

(2)鉛直漸近線 若$\underset{x\to x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\infty$，或$\underset{x\to x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\infty$，則

$x={{x}_{0}}$稱爲$y=f(x)$的鉛直漸近線。

(3)斜漸近線 若$a=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{x},\quad b=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,[f(x)-ax]$，則
$y=ax+b$稱爲$y=f(x)$的斜漸近線。

14.函數凹凸性的判斷
Th1: (凹凸性的判別定理）若在I上$f''(x)<0$（或$f''(x)>0$），則$f(x)$在I上是凸的（或凹的）。

Th2: (拐點的判別定理1)若在${{x}_{0}}$處$f''(x)=0$，（或$f''(x)$不存在），當$x$變動經過${{x}_{0}}$時，$f''(x)$變號，則$({{x}_{0}},f({{x}_{0}}))$爲拐點。

Th3: (拐點的判別定理2)設$f(x)$在${{x}_{0}}$點的某鄰域內有三階導數，且$f''(x)=0$，$f'''(x)\ne 0$，則$({{x}_{0}},f({{x}_{0}}))$爲拐點。

15.弧微分

$dS=\sqrt{1+y{{'}^{2}}}dx$

16.曲率

曲線$y=f(x)$在點$(x,y)$處的曲率$k=\frac{\left| y'' \right|}{{{(1+y{{'}^{2}})}^{\tfrac{3}{2}}}}$。
對於參數方程KaTeX parse error: No such environment: align at position 15: \left\{ \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲}̲ & x=\varphi (…
$k=\frac{\left| \varphi '(t)\psi ''(t)-\varphi ''(t)\psi '(t) \right|}{{{[\varphi {{'}^{2}}(t)+\psi {{'}^{2}}(t)]}^{\tfrac{3}{2}}}}$。

17.曲率半徑

曲線在點$M$處的曲率$k(k\ne 0)$與曲線在點$M$處的曲率半徑$\rho$有如下關係：$\rho =\frac{1}{k}$。

參考：https://aistudio.baidu.com/aistudio/projectdetail/549642