聚類算法：Affinity Propogation算法學習指南！

Affinity Propogation最初是由Brendan Frey 和 Delbert Dueck於2007年在Science上提出的。相比其它的聚類算法，Affinity Propogation算法不需要預先指定聚類個數。

Affinity Propogation算法的原理可以簡單的概括爲：每一個數據點都會給其它的多有點發送信息，告知其它所有點每個目標對發送者（sender）的相對吸引力的目標值（target）。

隨後，鑑於從所有其它sender收到信息的“attractiveness”，每個target所有sender一個回覆，以告知與sender相聯繫的每一個sender的可用性。sender會給target回覆相關信息，以告知每一個target對sender修正的相對“attractiveness”（基於從所有target收到的關於可用性的信息）。信息傳遞的整個過程直到達成一致纔會停止。

一旦sender與某個target相聯繫，這個target就會稱爲該點（sender）的“典型代表（exemplar）”。所有被相同exemplar標記的點都被放置在一個聚類中。

算法

假定一個如下的數據集。每一個參與者代表一個五維空間的數據點。

相似性矩陣（C）

除了在對角線上的元素外，其它的元素是負的均方誤差作爲兩個數據間的相似值。計算公式如下：
$c(i, j) = -||X_i-X_y||^2$
以Alice和Bob爲例，兩者間的相似性計算過程如下：
$(3-4)^2+(4-3)^2+(3-5)^2+(2-1)^2+(1-1)^2 = 7$
因此，Alice與Bob之間的相似值爲-7。

相似性值的計算邊界出現在Bob和Edna間：
$(4-1)^2+(3-1)^2+(5-3)^2+(1-2)^2+(1-3)^2 = 22$
Bob和Edna之間的相似值爲-22。

通過逐步的計算，最後得到的結果如下：

一般對角線上的元素取相似值中較小的數，在本例中取值爲-22，因此，得到的相似性矩陣如下：

Responsibility Matrix ®

這裏的responsibility matrix 是中間的過度步驟。通過使用如下的公式計算responsibility matrix：
$r(i, k ) \leftarrow s(i, k)- max_{k^{'} such\ that\ k^{'} \not= \ k} \{a(i, k^{'})+s(i, k^{'})\},$
其中，i表示協同矩陣的行，k表示列的關聯矩陣。

例如，$r(Alice, Bob)$的值爲-1， 首先提取similarity matrix中$c(Alice, Bob)$的值爲-7， 減去similarity matrix中Alice行的最大值爲-6，因此，得到$r(Alice, Bob)=-1$。

取值的邊界爲$r(Cary, Doug)$，其計算如下：

$r(Cary, Doug) = -18-(-6)=-12$

根據上述公式計算得到的最終結果如下圖所示：

Availability Matrix (a)

Availability Matrix的初始值爲矩陣中的所有元素均爲0。

首先，計算對角線上的元素值：
$a(k,k) \leftarrow \sum_{i^{'}such \ that \ i^{'} \not= k} max\{0, r\{i^{'}, k\}\},$
其中，i表示協同矩陣的行，k表示協同矩陣的列。

實際上，上面的公式只告訴你沿着列，計算所有行與0比較的最大值（除列序與行序相等時的情況除外）。例如，$a(Alice, Alice)$的計算如下：
$a(Alice, Alice) = 10+11+0+0 = 21$
其次，計算非對角線上的元素值，分別以$a(Alice, Cary)$和$a(Doug, Edna)$爲例，其計算過程如下所示：

$a(Alice, Cary) = 1+0+0+0 = 1 \\ a(Doug, Edna) = 0+0+0+9 = 9$
以下公式是用於更新Availability Matrix，其公式如下：
$a(i, k) \leftarrow min\{0, r(k,k)+\sum_{i^{'} such \ that \ i^{'} \notin \{i, k\}} max{\{0, r(i^{'}, k)}\}\}$
當你想要更新$a(Alice, Bob)$的值時，其計算過程如下：
$a(Doug, Bob) = min\{{0,(-15)+0+0+0}\}=-15$
最後得到的結果如下表所示：

Criterion Matrix ©

在得到上面的availability matrix後，將availability matrix和responsibility matrix的對應元素相加，便可得到criterion matrix。

其計算公式如下：
$c(i, k) \leftarrow r(i,k)+a(i,k).$
最後得到的criterion matrix的結果如下：

以上便是Affinity Propogation算法的計算過程，這是我見過最淺顯易懂的講解了，詳見原文。

代碼示例如下：

首先，導入相關庫：

import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
import seaborn as sns
sns.set()
from sklearn.datasets.samples_generator import make_blobs
from sklearn.cluster import AffinityPropagation

使用scikit-learn生成需要的數據集，詳見如下：

X, clusters = make_blobs(n_samples=300, centers=4, cluster_std=0.60, random_state=0)
plt.scatter(X[:,0], X[:,1], alpha=0.7, edgecolors='b') 

訓練模型（因爲是無監督算法，因此不需要拆分訓練集和測試集）：

af = AffinityPropagation(preference=-50)
clustering = af.fit(X) 

最後，將不同聚類的點可視化：

plt.scatter(X[:,0], X[:,1], 
c=clustering.labels_, cmap='rainbow', alpha=0.7, 
edgecolors='b') 

算法使用場景：

Affinity Propagation是一個無監督的機器學習算法，它尤其適用於那些不知道最佳聚類數情況的算法。