[概率論]圖像裏的“白噪聲”——電視機搜不到臺時雪花斑點的形成原因

作者：❄️固態二氧化碳❄️ (主頁)
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發表時間：2019年11月05日 18:14:07
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  最近剛剛上了概率論與數理統計的課,瞭解了一些概率方面的知識,正好聯想起了生活中的一個隨機噪聲問題,故寫一篇文章來探討一下這個問題。
  我們都知道在電視機搜不到臺時,會出現雜亂無章,看起來十分不舒服的灰色雪花斑點,而在收音機搜不到臺時,則會發出類似下大雨的噪聲。而它們在原理上其實是一樣的,都是由隨機信號產生出來的效果。在搜不到臺時,接收到的信號是雜亂無章的,類似於隨機變量,而這些信號數字化後就類似於隨機數序列。將隨機數序列解碼後,得到的聲音/圖像信息,正是類似下大雨的噪聲和灰色雪花斑點。前者又稱"白噪聲",它是包含了所有頻率信號的聲音,且在各個頻率處的功率譜密度均相等。我們知道,白光包含了所有頻率的可見光,在各個頻率處光功率相等,換句話說,白光就是由相等強度的所有顏色(頻率)的可見光混合而成的。而隨機噪聲的頻譜分佈正好符合白光的特點,因此得名"白噪聲"。
  電視機的灰色雪花斑點,原理上和白噪聲是相同的,都是隨機信號產生的噪聲,所以這雪花斑點也屬於一種"白噪聲",不過這是圖像上的白噪聲,但爲了簡化,在下文中我將其簡稱爲"白噪聲"。
  (關於聲音中的白噪聲,由於我還沒有了解關於信號與聲音方面的知識,所以在這篇文章中我不會做相關介紹,不過我在以後的文章中還是會寫的)

  另外附上一個在網上流傳的比較常見的一種錯誤說法,就是說白噪聲和雪花背景來自於所謂的宇宙"微波背景輻射",其實這種說法完全是錯誤的,希望大家不要以訛傳訛。
  白噪聲和雪花背景的確是隨機信號輻射引起的,但來源肯定不是宇宙背景輻射。因爲宇宙空間離地面相當遠,而本身微波背景輻射是非常微弱的,強度相當小,這些輻射經過大氣層後會衰減很多,而且地球周圍其他信號的干擾會使得探測背景輻射愈發困難。在其他信號面前,這一點輻射可以說是九牛一毛,微不足道,完全可以忽略不計。所以"宇宙背景輻射說"是完全站不住腳的。
  這些信號真正的來源是電視機周圍空間中的混雜的其他干擾信號,以及電視機自身磁場產生的信號,這些充斥在電視機周圍的無序隨機信號纔是導致白噪聲和雪花信號的形成的根本原因。在具體分析之前,我必須先澄清這一點。

  進入正題。電視機無臺時的灰色斑點是隨機的圖像信號,那麼我們生成一個隨機的位圖文件,得到的就是這樣的圖案。現在我們用Winhex軟件生成一段隨機序列,並且放入BMP文件的數據段內。BMP文件由文件頭和數據段組成,文件頭包括圖像的長寬,色深等信息,數據段則記錄着每個像素的顏色。

BMP文件結構

  這是一個2048×1536的隨機圖像,文件頭表示圖像尺寸爲2048×1536,數據段則爲WinHEX生成的隨機序列,生成方法如下:

  生成效果如下:

  這就很像電視機無臺時的灰色斑點了。但是,這種灰色究竟是怎麼樣的一種灰色呢?這裏就需要用到概率論的知識了。
  我們都知道,電子圖像是用RGB表示的,用RGB三個通道的值,來表示RGB三種顏色的深淺程度。利用不同深淺的三種顏色,就可以合成出各種不同的"彩色"(這裏的"彩色"實際上是利用了人眼不能區分同色異譜的光的特點,用三種顏色合成出的"彩色",達到欺騙人眼的目的,同時也節省了顯示器的成本。如果我們不這樣做,那麼圖像就得像聲音一樣,需要使用不同頻率的光,進行振動波形描述來表示,這樣顯然增加了顯示器的硬件製造成本,同時也增加了圖像的存儲體積,造成了空間浪費,顯得很不經濟划算。所以我們能用RGB合成出各種色彩,其實只是利用了人眼視覺上的弱點,投機取了個巧罷了)。而雪花斑點本質上是隨機圖像,圖像中RGB三個通道的值均爲隨機數,所以RGB三個通道的地位其實是平等的,平均下來的值(數學期望)也是相等的,因此圖像會呈現出灰色。但是,這種灰色的灰度值到底是多少呢?下面我們就要進行計算。
  在進行計算之前,我們首先需要了解gamma值的概念。因爲電腦圖像所存儲的灰度值與實際的亮度並不成正比,不能直接進行加和,否則會得到錯誤的結果。
  電腦圖像中所存儲的灰度值,有時又被稱爲"亮度",實際上是心理亮度。比如說(127.5,127.5,127.5)的灰色,在心理感知上的亮度,是(255,255,255)的白色的一半。但是實際上的物理功率並非是一半,而是$(\frac{1}{2})^{2.2}≈0.21763764$倍,這是怎麼回事呢?
  原來,物理亮度由功率決定,與功率成正比,而人眼對亮度的感知與功率並不成正比,而是冪函數的關係,這個函數的指數我們通常稱作伽馬(gamma)值,符號爲γ。如果我們把物理亮度(相對功率)記爲$L_p$,心理亮度(計算機圖像中存儲的值)記爲$L$,則有$L_p=L^γ$。對於人眼而言,這個伽馬值通常在1.8~2.6之間,而在絕大多數電腦上,這個值取的是2.2,所以我們有$L_p=L^{2.2}$。
  而顏色的加和是物理亮度的相加,並非心理亮度,所以RGB顏色值不能直接相加,如果這樣做就是無意義的,會計算出錯誤的值。所以我們先要將RGB通道的值換算成物理亮度,然後再進行計算。但是最後計算得到的值又要換算成心理亮度,才能變成RGB通道的值,存儲在圖像中。因此實際上我們要進行兩步換算後才能得到最終的值。

  我們知道,隨機圖像的RGB三個通道的值均爲隨機數。爲了計算方便,我們先將其進行歸一化,換算成0~1之間的值,這樣RGB三個通道的值就都服從0~1區間上的均勻分佈。由於RGB三個通道在這裏的地位是平等的,所以我們只取其中的一個值進行分析,將其記爲隨機變量$X$,則$X\sim U(0,1)$。
  將$X$對應的物理亮度記爲$Y$,則$Y=X^{2.2}$。
  我們看到的雪花斑點圖像的最終效果,其實是許多像素顏色值的平均值(數學期望),像素越多,偏差程度(方差)越小(大數定律),看起來灰色越均勻。前面我們說過,顏色的加和是按照物理亮度計算的,亮度的平均值,也就是單位面積上的亮度,是先將一定面積的像素亮度進行加和,再除以總面積。這個過程需要用到加法運算,所以我們只能對物理亮度進行這樣的運算,也就是求物理亮度$Y$的數學期望$E(Y)$,然後再換算成計算機圖像裏的灰度值。
  設隨機變量$X$具有概率密度$f_X(x)$,$m<x<n$,函數$g(x)$在$(m,n)$可導且在$(m,n)$恆有$g'(x)>0$(或$g'(x)<0$),則$Y=g(X)$是連續型隨機變量,其概率密度爲
$f_Y(y)=\left\{\begin{aligned} & f_X[h(y)]|h'(y)| & (α<y<β) \\ & 0 & (其他) \end{aligned}\right.$

  其中$α=min[g(m),g(n)]$,$β=max[g(m),g(n)]$,$h(y)$是$g(x)$的反函數。

  在這裏,$Y=X^{2.2}$,$g(x)=x^{2.2}$,$h(y)=y^{\frac{1}{2.2}}$,$h'(y)=\frac{1}{2.2}y^{-\frac{1.2}{2.2}}$。
  由於$X\sim U(0,1)$,故
$f_X(x)=\left\{\begin{aligned} & 1 & (0<x<1) \\ & 0 & (其他) \end{aligned}\right.$
  所以
$f_Y(y)=\left\{ \begin{aligned} & f_X(y^{\frac{1}{2.2}})|\frac{1}{2.2}y^{-\frac{1.2}{2.2}}| & (0<y<1) \\ & 0 & (其他) \end{aligned} \right. =\left\{ \begin{aligned} & \frac{1}{2.2}y^{-\frac{1.2}{2.2}} & (0<y<1) \\ & 0 & (其他) \end{aligned} \right.$

  $Y$的數學期望$E(Y)=\int_{0}^{1}y·\frac{1}{2.2}y^{-\frac{1.2}{2.2}}\mathrm{d}y=\int_{0}^{1}\frac{1}{2.2}y^{\frac{1}{2.2}}\mathrm{d}y=[\frac{1}{2.2}·\frac{2.2}{3.2}y^{\frac{3.2}{2.2}}]_0^1=[\frac{1}{3.2}y^{\frac{3.2}{2.2}}]_0^1=\frac{1}{3.2}$
  即物理亮度的平均值爲$\frac{1}{3.2}$,換算成RGB通道值(歸一化)爲$\sqrt[2.2]{\frac{1}{3.2}}≈0.58936776$,則實際存儲RGB值爲$255\sqrt[2.2]{\frac{1}{3.2}}≈150.288778$,四捨五入爲$150$。因此我們得出結論,電視機搜不到臺時灰色雪花斑點對應的灰色值爲(150,150,150),即#969696。下面我們來對比一下雪花斑點圖像以及(150,150,150)灰色純色圖像,看看他們是否相近。

  兩者看上去已經比較接近了,但是前面一幅圖更加雜亂。事實上在同樣大小的區域裏,如果把前面一幅圖像素做得足夠多,密度足夠大,肉眼看上去就和後面一幅幾乎沒有區別了。原因是像素數增多,根據大數定律,其顏色的平均值的數學期望不變,而方差會減小,即整體偏離程度減小,整幅圖看起來就更加均勻,雜點佔比更小,更接近於純色的灰色。

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