2019浙江理工大學校賽 D LIS（線性基）

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題目描述

 令LIS(S)爲序列S的最長遞增子序列的長度
給你n個非負整數，a[0],a[1],...,a[n-1]，你可以對這個數組進行零次或多次操作，每次操作選擇一個i(0<=i<=n-2),將a[i+1]變成(a[i+1] xor a[i])
你的任務是使得LIS(a)越大越好，輸出LIS(a)的最大值

 

輸入

第一行輸入一個整數n (1 <= n <= 100)
第二行輸入n個整數ai(0 <= ai <= 10^18)

 

輸出

 輸出一個整數，即LIS(a)的最大值

樣例輸入

【樣例輸入1】
3
4 2 1
【樣例輸入2】
10
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
【樣例輸入3】
10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
【樣例輸入4】
15 	
1008 42 7 5 2 9 75 0 0 12 3 6 81 4 3

樣例輸出

【樣例輸出1】
3
【樣例輸出2】
1
【樣例輸出3】
10
【樣例輸出4】
12

稍微推一下易知，變化後的是前面i-1個數中任意個 、任意位置與最初的亦或的結果。

• 很容易想到線性基
• 假如當前我們正在確定第i個元素的貢獻，我們就把前i個元素加入線性基。
• 然後查詢當前元素排在第j位的最小值是，與原來在這個位置的值比較取min
  • 若在開頭，即使當前當前元素的最小值是什麼
  • 若在中間，既是求剛好大於dp[i-1][j-1]的值
    • 這個就像取第k大或者取最大那樣二進制拆分一下就好了
• 訪問一下dp數組最長達是多少

#include<algorithm>
#include<vector>
#include<iostream>
#include<math.h>
#include<cstring>
#include<string>
#include<stack>
#include<map>
#include<set>
#include<unordered_map>
#include<queue>
#include<assert.h>
#include<iomanip>
#include<bitset>
#include<stdio.h>

#define qcin; ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define clr(x) memset(x,0,sizeof x)
#define fmax(x) memset(x,0x3f,sizeof x)
#define finit(x) memset(x,-1,sizeof x)
#define iio(n,m) io(n),io(m)
#define lc(p) (p<<1)
#define rc(p) ((p<<1)|1)
#define VI vector<int>

#define dis(l,r) r-l+1
#define gstr(str) scanf("%s",str)
#define glen(str) strlen(str)
using namespace std;

typedef long long ll;

typedef pair<int,int>pii;
const int maxn = 150;
const int mod =  1e9+7;
const ll INF = 2147483647;

typedef ll arr[maxn];
typedef char str[maxn];
void file(int x){if(x&&fopen("123.in","r")){freopen("123.in","r",stdin);}}

const long double pi = acos(-1);
const double eps=1e-10;
const double delta=0.993;

arr b,a;
ll dp[2][maxn];
int p=0,q=1;
ll res,n;

inline void ins(ll x){
    for(int i=62;~i;i--){
        if(x>>i&1){
            if(!b[i]){
                b[i]=x;
                for(int j=i-1;~j;j--)if(b[j]&&(b[i]>>j&1)){
                    b[i]^=b[j];
                }
                for(int j=62;j>i;j--)if((b[j]>>i)&1){
                    b[j]^=b[i];
                }
                return;
            }else x^=b[i];
        }
    }
}
inline ll getmin(ll x){
    for(int i=62;~i;i--){
        x=min(x,x^b[i]);
    }
    return x;
}
inline ll getnxt(int k,ll pre){
    ll x=a[k];
    for(int i=62;~i;--i){
        x=max(x,x^b[i]);
    }
    if(x<=pre)return dp[0][0];
    else{
        for(int i=62;~i;--i){
            ll tmp=x^b[i];
            if(tmp>x)continue;
            if(tmp>pre)x=min(x,tmp);
        }
        return x;
    }
}

int main(){
    file(1);
    while(~scanf("%lld",&n)){
        clr(b);fmax(dp[p]);
        for(int i=1;i<=n;i++){
            scanf("%lld",&a[i]);
        }
        dp[p][1]=a[1];
        for(int i=2;i<=n;i++){
            ins(a[i-1]);
            swap(p,q);fmax(dp[p]);
            dp[p][1]=min(dp[q][1],getmin(a[i]));
            for(int j=2;j<=i;j++){
                if(dp[q][j-1]==dp[0][0])break;
                dp[p][j]=min(dp[q][j],getnxt(i,dp[q][j-1]));
            }
        }
        res=1;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            if(dp[p][i]!=dp[p][0])res=i;
        }
        printf("%lld\n",res);
    }
}