這個證的貌似很少，只找到這裏：http://hi.baidu.com/aekdycoin/item/e493adc9a7c0870bad092fd9，留存一下。
曾經看過如下一個公式:
以上的公式如果第一次見到，難免有不少疑惑:
爲什麼可以這麼寫?限制條件爲什麼是x >= Phi(C),這個公式爲什麼正確?
今天突發奇想,在紙上YY以後得到了以下證明(個人證明,如果有問題歡迎提出)
定理 1:
對於一個數對(A,C) 必然存在一個最小的正整數 L,滿足
其中SPOS 是一個大於等於0的整數(下面具體介紹)
我們稱L 爲(A,C) 的最小循環節長度
證明:
根據鴿巢原理,得到在x >= C 後必然出現循環,從而定理得證.
定理 2:
對於數對 (A,C) 下面的公式必然成立
其中 k >= 0
既L 的任意倍數均爲一個新的循環節長度.
證明:
根據定理1,不難得證.
定理 3:
對於數對 (A,C) 必然存在 一個最大的SPOS >=0 ,滿足
（1） 若x屬於區間 [0,SPOS -1] 內,得到的一個剩餘系的長度爲SPOS；
（2） 該剩餘系和x屬於[SPOS,+oo]的剩餘系的交集爲空！
證明:
對於一個SPOS,由於[0,SPOS-1]內不存在循環，所以x屬於[0,SPOS-1]內得到的值是唯一的.
而第二點的證明也不難,因爲如果不爲空，那麼必然可以縮小SPOS的值.
定理 4:
對於數對 (A,C) 若 (A,C) == 1,那麼 L | Phi(C)
證明：
顯然可以由歐拉公式，得到
A^Phi(C) = 1 (mod C)
而A^0 = 1 (mod C),於是出現了循環
由定理2，該定理得證.
定理5:
對於數對 (A,C) 若 A|C
那麼有
SPOS >= CNT
其中CNT爲滿足 A^CNT | C的最大的正整數
下面分2個情況
(1) A^CNT == C
果斷顯然成立
(2) A^CNT * B = C
於是我們假設對於[0,CNT] 內存在某個數i,有
A^i = A^x (mod C)
而由於x > CNT (因爲[0,CNT]內不存在循環)
所以
A^CNT * A^(x - CNT) = A^i (mod A^CNT * B)
顯然如果 i < CNT
那麼是不可能有解的
因爲(A^CNT, A^CNT * B) | A^i 顯然不成立
於是Spos >= CNT 得證
定理 6:
對於一個數對 (A,C) 若存在
那麼有 L | M
根據定理1,2 不難得到.
好了，上面寫了那麼多，是爲了介紹 循環節的基本定理
下面開始正題,開始公式的證明
我們對於A 進行分解,得到素因子集合
下面我們把素因子分爲2類
(1) (Pi,C) == 1
(2) (Pi,C) != 1
對於第一類情況,我們容易由定理4知道對於每一個 Pi,得到了Li ( 數對 (Pi,C) 的最小循環節長) 必然是 Phi(C) 的因子
對於第二類情況,由定理5,”消去 因子”,轉化爲第一類的情況.得到了 這類的素因子Pi 的Li 依然爲Phi(C) 的因子
@2011-01-11 對於第二類情況的更新
由循環定義得到
(Pi^ci)^x = (Pi^ci)^(x + Li) (mod C) (x >= spos)
那麼我們假設C = Pi^CNT * B, 其中 (B, Pi) = 1
那麼
(Pi^ci)^x = (Pi^ci)^(x + Li) (mod Pi^CNT * B)
同時消去Pi因子，最終可以得到:
[Pi^a] * [Pi^ci]^b = [Pi^a] * [Pi^ci]^b * [Pi^ (ci * Li)] (mod B)
(Pi^a, B) = 1,逆元存在,2邊同時乘上 Pi^a的逆元
[Pi^ci]^b = [Pi^ci]^b * [Pi^ (ci * Li)] (mod B)
===>
[Pi^ci] ^b = [Pi^ci] ^ (b + Li) (mod B)
Li 爲Phi(B)的因子,B爲C的因子,既
Li | Phi(B), B| C
下面我們構造所有素因子的循環，既求他們的LCM，那由於定理6不難知道，(A,C) 的最小循環節長 L | LCM(L1,L2…LK)
而Li |Phi(C)
所以 L | Phi(C)
之後由定理1,2 公式得證.
推薦題目:
http://acm.fzu.edu.cn/problem.php?pid=1759
Problem 1759 Super A^B mod C 直接運用公式
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3221
2009年shanghai B,得到DP以後利用公式
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2837
Calculation 遞歸,注意細節
PS. 標程在某個細節處理錯誤,可是數據是對的.