原文地址:
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記憶正態分佈公式
超越函數e−x2在(-∞, +∞)上的定積分
令 I=∫−∞+∞e−x2dx
I2=∫−∞+∞e−x2dx∫−∞+∞e−y2dy=∬e−(x2+y2)dxdy=∬e−r2rdrdθ=∫0πdθ⋅2∫0+∞e−r2rdr=θ∣0π⋅(2⋅−21e−r2∣∣∣0+∞)=π⋅1=π
故 I=π
什麼是超越函數
超越函數(Transcendental Functions),指的是變量之間的關係不能用有限次加、減、乘、除、乘方、開方運算表示的函數。
歐拉把約翰·貝努利給出的函數定義稱爲解析函數
,並進一步把它區分爲代數函數
(只有自變量間的代數運算)和超越函數
(三角函數、對數函數以及變量的無理數冪所表示的函數),還考慮了“隨意函數
”(表示任意畫出曲線的函數)。
綜上,超越函數,即"超出"代數函數範圍的函數。