正态分布与超越函数

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记忆正态分布公式

超越函数$e^{-x^2}$在(-∞, +∞)上的定积分

令 $I=\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^{2}} d x$

$\begin{aligned} I^{2} &=\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^{2}} d x \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-y^{2}} d y \\ &=\iint e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)} d x d y \\ &=\iint e^{-r^{2}} r d r d \theta \\ &=\int_{0}^{ \pi} d \theta \cdot2 \int_{0}^{+\infty} e^{-r^{2}} r d r \\ &=\left.\theta\right|_{0} ^{ \pi} \cdot\left(2\cdot-\frac{1}{2}\left.e^{-r^{2}}\right|_{0} ^{+\infty}\right) \\ &= \pi \cdot 1 \\ &=\pi \end{aligned}$

故 $I=\sqrt{\pi}$

什么是超越函数

超越函数(Transcendental Functions)，指的是变量之间的关系不能用有限次加、减、乘、除、乘方、开方运算表示的函数。

欧拉把约翰·贝努利给出的函数定义称为解析函数，并进一步把它区分为代数函数（只有自变量间的代数运算）和超越函数（三角函数、对数函数以及变量的无理数幂所表示的函数），还考虑了“随意函数”（表示任意画出曲线的函数）。

综上，超越函数，即"超出"代数函数范围的函数。