算法-回溯法/动态规划-零钱兑换

算法-回溯法/动态规划-零钱兑换

1 题目概述

1.1 题目出处

https://leetcode-cn.com/problems/coin-change/

1.2 题目描述

给定不同面额的硬币 coins 和一个总金额 amount。编写一个函数来计算可以凑成总金额所需的最少的硬币个数。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1。

示例 1:

输入: coins = [1, 2, 5], amount = 11
输出: 3
解释: 11 = 5 + 5 + 1
示例 2:

输入: coins = [2], amount = 3
输出: -1

说明:
你可以认为每种硬币的数量是无限的。

2 回溯法

2.1 思路

首先将零钱从小到大排序，然后贪心地优先放面额大的零钱，直到超过目标值就回溯；或等于目标值，就比较当前零钱总数和最小值，如果更小就设为最小值，然后继续回溯。

2.2 代码

class Solution {
    public int coinChange(int[] coins, int amount) {
        if(coins == null || coins.length == 0){
            return -1;
        }
        Arrays.sort(coins);
        return backtrack(coins, amount, 0, 0, coins.length - 1);
    }

    int min = Integer.MAX_VALUE;

    private int backtrack(int[] coins, int amount, int count, int sum, int max){
        if(sum > amount){
            // 结束条件
            return -1;
        }
        if(sum == amount){
            // 结束条件
            return count;
        }
        for(int i = max; i >= 0; i--){
            // 选择
            sum += coins[i];
            int result = backtrack(coins, amount, count + 1, sum, i);
            if(result > -1){
                if(result < min){
                    min = result;
                }
            }
            sum -= coins[i];
        }
        if(min == Integer.MAX_VALUE){
            return -1;
        }else{
            return min;
        }
    }
}

2.3 时间复杂度

时间复杂度太高，直接崩了

3 回溯法-剪枝

3.1 思路

前面回溯法，相当于穷举所有组合，所有超时也是在情理之中。

但由于可能出现以下情况：
对于这个测试用例

[13,12,11,9,61]
33

优先找到：
13 13 6 1
然后可以找到
13 12 6 1 1
还可以找到
13 11 9（最优解）

这说明，我们必须递归完这些解，否则可能无法找到全局最优解！

但是我们还是用了剪枝思想，见代码注释中的k + cnt < res。

3.2 代码

class Solution {
    private int min = Integer.MAX_VALUE;

    public int coinChange(int[] coins, int amount) {
        if(coins == null || coins.length == 0){
            return -1;
        }
        Arrays.sort(coins);
        backtrack(coins, amount, 0, coins.length - 1);
        return min == Integer.MAX_VALUE ? -1 : min;
    }
    
    private void backtrack(int[] coins, int amount, int count, int max){
        if(amount == 0){
            // 结束条件
            min = Math.min(min, count);
            return;
        }

        if(max < 0){
            // 结束条件
            return;
        }

        // k + count < min是剪枝关键
        // 考虑 k + count == min，此时已经不需要再继续查找，因为更小面额肯定需要的数量更多，而相等数量的组合已经有了
        // 考虑 k + count > min，此时也已经不需要再继续查找，更小面额组合钞票数肯定更大于当前 k + count

        for(int k = amount / coins[max]; k >= 0 && (k + count < min) ; k--){
            backtrack(coins, amount - k * coins[max], count + k, max - 1);
        }
    }
}

3.3 时间复杂度

这次好很多！

4 动态规划

4.1 思路

设dp[i]表示金额i的最小硬币个数，则

dp[i] = Math.min(dp[i-coins[0]] + 1, dp[i-coins[2]] + 1,...,dp[i-coins[n-1]] + 1);

4.2 代码

class Solution {
    private int min = Integer.MAX_VALUE;

    public int coinChange(int[] coins, int amount) {
        if(coins == null || coins.length == 0 || amount < 0){
            return -1;
        }
        if(amount == 0){
            return 0;
        }

        // 将硬币从小到大排序，当目标金额小于某个硬币面值时可直接排除大面额硬币
        Arrays.sort(coins);

        // 设dp[i]表示金额i的最小硬币个数
        // 则dp[i] = Math.min(dp[i-coins[0]] + 1, dp[i-coins[2]] + 1,...,dp[i-coins[n-1]] + 1);
        int[] dp = new int[amount + 1];
        dp[0] = 0;
        // 记录用到的最大硬币下标
        int max = coins.length - 1;
        // 更新用到的最大硬币下标，对一个硬币刚好能组成的金额进行dp[i]初始化为1
        for(int i = 0; i < coins.length; i++){
            if(amount == coins[i]){
                return 1;
            }
            if(coins[i] > amount){
                max = i - 1;
                break;
            }
            dp[coins[i]] = 1;
        }
        // 从1到amout开始动态规划过程
        for(int i = 1; i <= amount; i++){
            // 该金额对应的最小硬币个数
            int min = Integer.MAX_VALUE;
            for(int j = 0; j <= max; j++){
                if(coins[j] > i){
                    // 如果硬币面额比当前金额大，就停止当前趟查找最小硬币个数
                    break;
                }
                int tmp = dp[i-coins[j]];
                if(tmp == -1){
                    // 该金额构成肯定不包含当前硬币
                    continue;
                }
                min = Math.min(min, tmp);
            }
            // min + 1 表示要加上一个硬币组成当前金额
            dp[i] = min == Integer.MAX_VALUE? -1 : (min + 1); 
        }
        return dp[amount];
    }
}

4.3 时间复杂度

4.4 空间复杂度

O(amount)

参考文档

• 【零钱兑换】贪心 + dfs = 8ms