圖論詳細至定義定理之入門

一、圖的基本概念

1.1 圖的定義

---

定義1：圖 $G=(V,E)$ 是一個系統，其中V是非空有限集合，V中的元素稱爲結點；E是有限集合，E中的元素稱爲邊；且E中的元素與V中的一對元素相連繫。

例1：有四個城市$v_{1},v_{2}，v_{3},v_{4}$，其中$v_{1}與v_{2}$,$v_{1}與v_{4}$,$v_{2}與v_{3}$有公路相連。

答：上述事實可用圖$G=(V,E)$表示。圖中結點集合V = {$v_1,v_2,v_3,v_4$},圖中邊的集合E = {$v_1與v_2之間的邊，v_1與v_4之間的邊,v_2與v_3之間的邊$}

例2：有四個程序，他們之間存在如下的調用關係：$P_1能調用P_2，P_2能調用P_3，P_2能調用P_4$。

答：上述事實也可用圖$G=(V,E)$表示。圖中結點集合V = {$P_1,P_2,P_3,P_4$},圖中邊的集合E = {$P_1到P_2的邊，P_2到P_3的邊，P_2到P_4的邊$}

---

定義2：圖$G=(V,E)$是一個系統，其中V是非空有限集合，V中的元素稱爲結點；E是集合V上的關係$E \subseteq V \times V$,E中的元素稱爲邊。

例3：同例1，例2。

答：例1可表示爲：V = {$v_1,v_2,v_3,v_4$}，E = {$(v_1,v_2),(v_2,v_1),(v_1,v_4),(v_4,v_1),(v_2,v_3),(v3_,v_2)$}。

例2 可表示爲：$V = \{P_1,P_2,P_3,P_4\},E = \{(P_1，P_2),(P_2，P_3),(P_2，P_4)\}$。

---

定義3：設V是非空有限集合 $\sum$ 是一個標號集合，$E \subseteq V \times \sum \times V$， 稱 $G = (V, \sum, E)$爲一個圖。稱V中的元素爲G的結點；設 $u, v \in V$, $\sigma \in \sum$, 若$（u,\sigma,v）\in E$,則稱$（u,\sigma,v）$爲G中的一條邊，此邊起自於u終止與v；稱u爲邊$（u,\sigma,v）$的起點，v爲邊$（u,\sigma,v）$的重點，起點或終點統稱爲邊$（u,\sigma,v）$的端點。

定義4：圖$G=(V,E)$ 是一個系統。其中V是結點的非空有限集合；E是邊的有限集合；$\gamma$ 是邊到結點集的一個關聯函數,即 $\gamma:E \to 2^V$。一般來說，它將E中的每條邊 $e \in E$ 與結點集V中的一個二元子集 $\{u,v\} \in 2^V$ 相關聯，即 $\gamma(e) = \{u,v\}$,結點u和v統稱爲邊e的端點。

1.2 圖的常見類型

對圖的定義一般採用定義2的方式，並將擁有n個結點，m條邊的圖稱爲（n，m）圖。

設$G = (V,\sum,E)$,圖的類型一般有：

1. 無向圖：在圖G中，若$（u，\sigma,v）$與$（v，\sigma,u）$表示同一條邊，則稱此邊爲無向邊；若G中所有邊都是無向邊，則稱G爲無向圖
2. 有向圖：若G中所有邊都是有向邊，則稱G爲有向圖。
3. 混合圖：若G中，既有有向邊，又有無向邊，則稱這種圖爲混合圖。
4. 零圖：若在圖G中E = $\emptyset$，則稱G爲零圖。
5. 平凡圖：稱只有一個結點的圖爲平凡圖。

設$G = (V,\sum,E)$,邊與邊，結點與邊，結點與結點之間的關係一般有:

1. 邊鄰接：若G中有兩條邊有一個公共端點，則稱此二邊鄰接。
2. 結點相鄰：若G中的兩個結點是同一條邊上的兩個端點，則稱此二結點相鄰。
3. 關聯：若G中的節點v是邊e的端點，則稱節點v與邊e相關聯。
4. 孤立點：不與任何邊相關聯的點稱爲孤立點。
5. 自環：關聯於同一節點的一條邊稱爲自環。

在圖G中，邊的關係一般有：

1. 平行邊：若兩條邊有相同的端點（對有向圖則有相同的起點和終點），則稱此二邊爲平行邊。
2. 重數：兩節點之間平行邊的條數成爲平行邊的重數。
3. 多重圖：若圖G中有平行邊存在，則稱此圖爲多重圖。
4. 簡單圖：若圖G中無平行邊且無自環，則稱圖G爲簡單圖。

1.3 子圖與補圖

---

定義5：設$G=(V,E)$爲簡單圖，若G中每一對不同的結點間都有邊相連，則稱G爲完全圖。
設G有n個結點，m條邊。當G爲無向完全圖是，則有m = n(n-1)/2;當G爲有向完全圖時，則有m = n(n-1)。一般將n個節點的無向完全圖記爲$K_n$。

---

定義6：設有圖G= （V，E）和圖$G^` = (V^`,E^`)$

1. 子圖：若$V^` \subseteq V$ , $E^` \subseteq E$,則稱$G^`$爲G的子圖。
2. 真子圖：若$V^` \subset V$ , $E^`\subset E$,則稱$G^`$爲G的真子圖。
3. 生成子圖（又稱支撐子圖）：$V^` = V$ , $E^`\subseteq E$,則稱$G^`$爲G的生成子圖。
4. 平凡子圖：$V^` = V$ , $E^` = E$ 或 $V^` = V$ , $E^` = \emptyset$,稱這兩個子圖爲平凡子圖。

---

定義7：設$G=(V,E)$爲一簡單圖，$G^* = (V,E^*)$爲完全圖,稱 $\overline{G} = (V,\overline{E})$爲G的補圖，其中 $\overline{E} = E^*$ \ $E$.

---

定義8：設$G=(V,E)$是圖，

1. 當G爲有向圖時，G中以v爲起點的邊的條數成爲v的出度，記爲$\overleftarrow{deg}(v)$；以v爲終點的邊的條數成爲v的入度，記爲$\overrightarrow{deg}(v)$;入度和出度之和成爲v的度，記爲$deg(v)$。
2. 當G爲無向圖時，以v爲端點的邊的條數稱爲v的度，記爲$deg(v)$。

當某節點的度數爲奇數，稱此結點爲奇結點；若結點的度數爲偶數，則稱此節點爲偶結點；
稱度數爲1的節點爲懸掛點，與懸掛點關聯的邊稱爲懸掛邊。

---

定理1：設$G=(V,E)$是（n,m）無向圖，則$\sum_{i=1}^n{deg(v_i)} = 2m$。

定理2：設$G=(V,E)$是（n,m）有向圖，則$\sum_{i=1}^n{\overleftarrow{deg}(v_i)} = \sum_{i=1}^n{\overrightarrow{deg}(v_i)} = m$。

定理3：設$G=(V,E)$是（n,m）無向圖，則奇結點的個數爲偶數。

---

二、圖的同構

1.1 圖的同構的定義

定義9：設$G=(V,E)$和$G^`=(V^`,E^`)$是兩個簡單無向圖，若存在從V到$V^`$的雙射函數h，使得$e = \{v_i,v_j\} \in E$ 當且僅當$e^` = \{h（v_i）,h(v_j)\}\in E^`$，則稱圖G與圖$G^`$同樣。

必要條件（不是充分條件）：

1. 結點數相等；
2. 邊數相等；
3. 度數相同的結點個數相等。
   注意同構是一個等價關係、

定義10：設$G=(V,E)$和$G^` = (V^`,E^`)$是兩個簡單有向圖，若存在從V到$V^`$的雙射函數h，使得$e = \{v_i,v_j\} \in E$ 當且僅當$e^` = \{h（v_i）,h(v_j)\}\in E^`$，則稱圖G與圖$G^`$同構。

三、路與圈

3.1 路與圈的定義

定義11：設$G=(V,E)$，W是G的有限非空點邊交錯序列 $W = v_0e_1v_1e_2v_2…e_kv_k$ 稱W爲G的一條從$v_0$到$v_k$的途徑，稱$v_0$爲途徑的起點，$v_k$爲途徑的終點，k爲途徑的長度。

定義12：在途徑W中，如$v_0 \not= v_k$,則稱W是從$v_0$到$v_k$的一條路；若$v_0 = v_k$，則稱W是圈。

定義13：無重複邊的路稱爲簡單路，無重複邊的圈稱爲簡單圈，無重複點的路稱爲初級路，無重複點的圈稱爲初級圈。

定理4：設$G=(V,E)$爲一簡單圖，|V| = n，則：

1. G中任一初級路的長度不超過n-1；
2. G中任一初級圈的長度不超過n。

3.2 路與圈的可達性

定義14：設$G=(V,E)$是圖，任取u，v $\in$ V,如果G中存在一條從u到v的路，則稱u可達v。（規定u到自己總是可達的）

無向圖中，從u可達v，很明顯，v可達u成立；
然而有向圖中，u可達v，v不一定可達u。所以規定：$u，v相互可達 \leftrightarrow u可達v \wedge v可達u$。

從u可達v的所有路中最短的那一條稱爲短程線（短線程不一定是唯一的）。並經短程線的長度叫做從u到v的距離，用$d(u,v)$表示。規定：

1. $d(u,v)=0$;
2. 若u到v不可達，則$d(u,v)=\infty$

3.3 圖的連通性

3.3.1 無向圖的連通性

定義15：設$G=(V,E)$是無向圖，如果G中任意兩結點間均可達，則稱圖G是連通的，即G是連通圖，否則稱圖G是非連通的，即G是非連通圖。

極大連通子圖：對於無向圖（並不一定是連通的），如果是連通圖，那自己就是極大連通子圖；如果是非連通圖，則必然有獨立出來的路或圈，而將這些部分按照相互不連通，進行劃分，每一個劃分塊都是給定圖的一個連通子圖，而在每一個劃分塊中結點間的可達性已達到極大限度。

定義16：設$G=(V,E)$爲無向圖，G的一個極大連通子圖稱爲G的一個連通支。（非連通無向圖中一般連通支數 $\geq$ 2。）

3.3.2 有向圖的連通性

定義17：設$G=(V,E)$爲有向圖，

1. 若G中任意兩結點間都是相互可達的，則稱G是強連通的；
2. 若G中任意兩結點間至少有一結點可到達另一結點，則稱G是單連通的；
3. 若略去邊的方向後，G的無向圖時連通的，則稱G是弱連通的。

(弱連通，可能既不是單連通的，也不是強聯通的；強聯通一定是單連通和弱連通的；單連通一定是弱連通的，但不一定是強聯通的。）

定義18：設$G=(V,E)$是簡單有向圖，稱G的極大的強連通子圖爲G的強連通支；稱G的極大的單向連通子圖爲G的一個單向連通支；稱G的極大的若連通子圖爲G的一個若連通支。（注意：提到強，單向，弱就是有向圖）

有向圖的強連通性及弱連通性建立了G中節點集合V上的等價關係，即有向圖強/弱連通性都可以通過結點集合V來表示，但兩者還是有區別的。

對弱連通，不僅建立了結點集上的劃分，而且還建立了邊集上的劃分。
設$G_1,G_2,…,G_k,爲G的所有弱連通支，則有：

$\begin{matrix} V(G_1) \cup V(G_2) \cup ... \cup V(G_k) = V(G) \\ E(G_1) \cup E(G_2) \cup ... \cup E(G_k) = E(G) \end{matrix}$

當$i \not= j$時，有:

$\begin{matrix} V(G_i) \cap V(G_j) = \emptyset \\ E(G_i) \cap E(G_j) = \emptyset \\ \end{matrix}$

對強連通,只能建立結點集上的劃分，而不能建立邊集上的劃分。
設$G_1,G_2,…,G_k,爲G的所有強連通支，則有：

$\begin{matrix} V(G_1) \cup V(G_2) \cup ... \cup V(G_k) = V(G) \\ E(G_1) \cup E(G_2) \cup ... \cup E(G_k) \subseteq E(G) \end{matrix}$
當$i \not= j$時，有$V(G_i) \cap V(G_j) = \emptyset$

定理5：在簡單有向圖$G=(V,E)$中:

1. 每一個結點及每一條邊恰在一個弱連通中；
2. 每一個結點恰在一個強連通支中；
3. 每一個結點，每一條邊至少屬於一個單向連通支。

四、圖的矩陣表示

4.1 鄰接矩陣

4.1.1 鄰接矩陣的定義及強行命名

定義19：設$G=(V,E)$是簡單有向圖，$V={v_1,v_2,...,v_n}$被強行命名，稱n階方陣$A = (a_{ij})_{n \times n}$爲G的鄰接矩陣。其中:
$a_{ij}=\begin{cases} 1,&(v_i,v_j) \in E \\ 0,&(vi,vj) \notin E \end{cases}$

定義中的強行命名是指：給$V$中的各結點從$v_1到v_n$確定一個排隊的次序。當強行命名改變時，即結點次序改變，圖的鄰接矩陣也會變化。

對於一個給定的圖，我們能用一個主對角線全爲零的方陣將結點間的鄰接關係反應出來;
對於一個對角線全爲零、元素爲0或1的方陣，我們可以將其表示成一個圖。

若圖$G_1與G_2$同構，則它們相對應的鄰接矩陣$A(G_1)與A(G_2)$或者相同，或者其中的一個通過行與列的交換能轉換成另一個。

• 零圖：鄰接矩陣元素全是零；
• 完全圖：除對角線上全是零外，其餘元素均爲1；
• 圖對稱：鄰接矩陣按主對角線對稱，即$A = A^{T}$

4.1.2 利用鄰接矩陣求各結點的入度和出度

如：
$A = \begin{bmatrix} 0&1&0&0\\ 0&0&1&1\\ 1&1&0&1\\ 1&0&0&0 \end{bmatrix}$
$a_{ij}$表示邊$(v_i,v_j)$，取值決定這條邊是否存在。

$\overleftarrow{deg}(v_i)=a_{i1}+a_{i2}+...+a_{in}=\sum_{k=1}^{n}a_{ik} \\ \overrightarrow{deg}(v_i)=a_{1i}+a_{2i}+...+a_{ni}=\sum_{k=1}^{n}a_{ik} \\ deg(v_i)=\sum_{k=1}^n(a_{ik}+a_{ki})$
試：根據矩陣A，計算結點$v_2$的度數：
結點$v_2$的出度（以$v_2$爲起點的邊的條數）：
$\overleftarrow{deg}(v_2)=a_{21}+a_{22}+a_{23}+a_{24}=2$
結點$v_2$的入度（以$v_2$爲終點的邊的條數）：
$\overrightarrow{deg}(v_2)=a_{12}+a_{22}+a_{32}+a_{42}=2$
${deg}(v_2)=\overleftarrow{deg}(v_2)+\overrightarrow{deg}(v_2)=4$

4.1.3 鄰接矩陣中$AA^T$與$A^TA$中元素的含義

形如：

$B = AA^T,\\b_{ij} = \sum_{k=1}^{n}({a_{ik} \cdot a_{kj}^T})=\sum_{k=1}^{n}(a_{ik}\cdot a_{jk});$

注意$a_{kj}^T 就是 a_{kj}$，而且普遍情況下：$a_{kj}^T \not= a_{jk}$，之所以上面的$b_{ij}$的公式成立，是因爲這是矩陣$A$乘以矩陣自身的轉置$A^T$運算的規律。

如：

$A = \begin{bmatrix} 0&1&0&0\\ 0&0&1&1\\ 1&1&0&1\\ 1&0&0&0 \end{bmatrix}，$

$B= \begin{bmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&1\\1&1&0&1\\1&0&0&0\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}0&0&1&1\\1&0&1&0\\0&1&0&0\\0&1&1&0\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}1&0&1&0\\0&2&1&1\\1&1&3&1\\0&0&1&1\end{bmatrix}$

• $b_{11}=1$是相當於：$(v_1不可達v_1 \cap v_1不可達v_1) \cup (v_1可達v_2 \cap v_1可達v_2) \cup (v_1不可達v_3 \cap v_1不可達v_3) \cup (v_1不可達v_4 \cap v_1不可達v_4) = 0 + 1 + 0 + 0 = 1；$
• $b_{23}=1$是相當於：$(v_2不可達v_1 \cap v_3可達v_1) \cup (v_2不可達v_2 \cap v_3可達v_2) \cup (v_2可達v_3 \cap v_3不可達v_3) \cup (v_2可達v_4 \cap v_3可達v_4) = 0 + 0 + 0 + 1 = 1；$
• $b_{22}=2$是相當於：$(v_2不可達v_1 \cap v_2不可達v_1) \cup (v_2不可達v_2 \cap v_2可達v_2) \cup (v_2可達v_3 \cap v_2可達v_3) \cup (v_2可達v_4 \cap v_2可達v_4) = 0 + 0 + 1 + 1 = 2；$
• $b_{33}=3$是相當於：$(v_3可達v_1 \cap v_3可達v_1) \cup (v_3可達v_2 \cap v_3可達v_2) \cup (v_3不可達v_3 \cap v_3不可達v_3) \cup (v_3可達v_4 \cap v_3可達v_4) = 1 + 1 + 0 + 1 = 3；$

若$b_{ij}=1$,則表示存在一個節點$v_{k_0}$使，從$v_i$及$v_j$發出的邊都終止於它；如$b_{23}=1，有v_2，v_3終止於v_4$；
同理，若$b_{ij}=2$，則表示存在兩個節點，使從$v_i$及$v_j$發出的邊都終止於它們；
因此，$b_{ij}$的值表示了從vi和vj發出的邊終止與同一結點的結點數目。
當$i=j$時，B的主對角線上的元素值表示了結點$v_i$的出度，即:$b_{ij}=\sum_{k=1}^{n}({a_{ik} \cdot a_{ik}})=\sum_{k=1}^na_{ik}=\overleftarrow{deg}(v_i)$
如：$b_{11}=1$是相當於：
$\begin{matrix} (v_1不可達v_1 \cap v_1不可達v_1) \cup (v_1可達v_2 \cap v_1可達v_2) \cup (v_1不可達v_3 \cap v_1不可達v_3) \cup (v_1不可達v_4 \cap v_1不可達v_4) \\= (v_1不可達v_1) \cup (v_1可達v_2) \cup (v_1不可達v_3) \cup (v_1不可達v_4) \\= 0 + 1 + 0 + 0 = 1； \end{matrix}$
按照同樣的道理：
$B=A^TA,\\ b_{ij}=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}^T \cdot a_{kj}=\sum_{k=1}^n a_{ki} \cdot a_{ki}$
$b_{ij}$的值表示存在着這些數量的結點使由它們發出的邊同時終止與$v_i$與$v_j$。
當$i=j$時，B的主對角線上的元素值表示了結點$v_i$的入度，即
$b_{ij}=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}^T \cdot a_{kj}=\sum_{k=1}^n a_{ki} \cdot a_{ki}=\sum_{k=1}^n a_{ki}=\overrightarrow{deg}(v_i)$

4.1.4 鄰接矩陣中$A^n$中的元素的意義

• 當$n=1$時，$A^1 = (a_{ij}^1)_{n\times n},a_{ij}=1$表示存在一條邊$(v_i,v_j)$，即從$v_i到v_j$存在一條長度爲1的路。
• 當$n=2$時，$A^2=(a_{ij}^2)_{n\times n},a_{ij}^2=\sum_{k=1}^na_{ik}\cdot a_{kj}，$
• • $a_{ij}^2=1 \Leftrightarrow (僅\exists k_0)(a_{ik_0}=1 \wedge a_{k_0j}=1),$由$a_{ik_0}=1 及 a_{k_0j}=1$知：存在一條從$v_i到v_j$的長度爲2的路。
• • $a_{ij}^2=2 \Leftrightarrow (僅\exists k_0，k_1)(a_{ik_0}=1 \wedge a_{k_0j}=1 \wedge a_{ik_1}=1 \wedge a_{k_1j}=1),$由$a_{ik_0}=1 , a_{k_0j}=1 , a_{ik_1}=1 , a_{k_1j}=1$知：存在兩條從$v_i到v_j$的長度爲2的路。

由此得知：$a_{ij}^2$表示由$v_i到v_j$的長度爲2的不同路的總數；而$a_{ii}^2$表示經過$v_i$的長度爲2的圈數。

• • $a_{ij}^2=0$ 表示從$v_i到v_j$的沒有長度爲2的路(有沒有其他長度的路不一定）
• 一般的：$A_{l+1}=(a_{ij}^{l+1})n\times n,\\a_{ij}^{l+1}=\sum_{k=1}^na_{ik}^l \cdot a_{kj}^1;$
  $a_{ij}^{l+1}表示從v_i到v_j的長度爲l+1的路的總數。$

定理6：設$G$爲簡單有向圖，$A$是它的鄰接矩陣，則$a_{ij}^m$是$由v_i$到$v_j$的長度爲m的路的條數。(這裏的路和圈都未必是簡單路，簡單圈。）

4.2 可達矩陣

4.2.1 可達矩陣的定義

根據定理4：在一個$(n,m)$圖中，任一初級路(無重複點)的長度小於等於$n-1$,任一初級圈的長度小於等於$n$。
若從$v_i到v_j$有路，則從v_i到v_j必有一條初級路；若從v_i到v_j有圈，則必有一條長度不超過n的初級圈。
$B=A+A^2+A^3+…+A^n$
$矩陣B的元素b_{ij}給出了由v_i到v_j的所有長度從1到n的路的總條數$。
$e.g.$：$B=A+A^2+A^3+A^4 = \begin{bmatrix}3&4&2&3\\5&5&4&6\\7&7&4&7\\3&2&1&2\end{bmatrix}$
從結點v_2v_4之間共有6條路。
如果結點很多將可能會有更多的路，現在將注意點放到是否有路這一問題上，需要將矩陣B進行改造，並用下面定義的矩陣R來描述圖G的各結點見間的可達性。

定義20:$設G=(V,E)是簡單有向圖，V={v_1,v_2,...,v_n}被強行命名，n階方陣稱R=（r_{ij}）n \times n爲圖G的可達矩陣，其中$
$r_{ij}=\begin{cases}1,&v_i到v_j可達\\0,&v_i到v_j不可達\end{cases}$
特別是
$r_{ii}=\begin{cases}1,&v_i到v_i有圈\\0,&v_i到v_i無圈\end{cases}$
在可達性的規定中 $v_i$ 到 $v_i$ 總是可達的，而上面定義中是說 $r_{ii}=1$ 是表示$v_i$到$v_i$有圈，這兩者不衝突，只是鄰接矩陣的定義中 $(v_i,v_i) \notin E$中。
所以，$r_{ii}=1$時，表示的是$從v_i出發,經過非v_i結點,可以回到v_i$。$r_{ii}=1$時，表示G中至少有一條通過$v_i$的有向圈。

如何去確定一個給定圖的可達矩陣：

1. 先求出圖G的鄰接矩陣A；
2. 然後求$A^2,A^3,A^4,...,A^n$,由此得到矩陣B；
3. 由B確定R。

$R=A\vee A^{(2)}\vee A^{(3)}\vee... \vee A^{(n)}$

$e.g.$：給定圖G=(V,E)

將V強行命名爲$V={v_1,v_2,v_3,v_4}$,則G的鄰接矩陣爲
$A=\begin{bmatrix}0&0&0&1\\1&0&1&1\\0&0&0&0\\0&1&1&0\end{bmatrix}$
同時有：
$A^{(2)}=\begin{bmatrix}0&1&1&0\\0&1&1&1\\0&0&0&0\\1&0&1&1\end{bmatrix},A^{(3)}=\begin{bmatrix}1&0&1&1\\1&1&1&1\\0&0&0&0\\0&1&1&1\end{bmatrix},A^{(4)}=\begin{bmatrix}1&0&1&1\\1&1&1&1\\0&0&0&0\\0&1&1&1\end{bmatrix}$
所以，G的可達矩陣爲
$R=\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&1&1&1\\0&0&0&0\\1&1&1&1\end{bmatrix}$

4.2.1 $Warshall$ 算法

給定圖$G=(V,E)$,將結點集$V$強行命名爲$V={1,2,3,...,n},Warshall$算法的基本思想是構造一個矩陣序列
$A=R^{(0)},R^{(1)},R^{(2)},...,R^{(n)} =R$
這裏$R^{(0)}=A$是鄰接矩陣，$R=R^{(n)}$就是可達矩陣。

$Warshall$ 算法步驟，以$v_i到v_j$是否有路爲例：

• 第一步：由A求$R^{(0)}$，$R^{(0)}=A$$r_{ij}^{(0)}=a_{ij}$
  其中$r_{ij}^{(0)}爲R^{(0)}$的元素，$a_{ij}$爲鄰接矩陣A的元素。
• 第二步：由$R^{(0)}$求$R^{(1)}$，$r_{ij}^{(1)}=r_{ij}^{(0)}\vee (r_{i1}^{(0)}\wedge r_{1j}^{(0)})$
• • 其含義是：
• 1. $r_{ij}^{(0)}$用來判斷是否直接有邊相連，若結點$v_i$到結點$v_j$直接有邊相連，則$r_{ij}^{(1)}=1$;
• 2. $(r_{i1}^{(0)}\wedge r_{1j}^{(0)})$用來判斷結點$v_i$是否經過結點$v_1$可達$v_j$，若結點$v_i$到結點$v_1$有邊，且結點$v_1$到結點$v_j$有邊，即結點$v_i,v_j$可通過結點$v_1$相連，則$r_{ij}^{(1)}=1$。
• 第三步：由$R^{(1)}$求$R^{(2)},$$r_{ij}^{(2)}=r_{ij}^{(1)}\vee (r_{i2}^{(1)}\wedge r_{2j}^{(1)})$
• • 其含義是：
• 1. 若$r_{ij}^{(1)}=1$，即結點$v_i$到結點$v_j$直接有邊相連或通過結點1相連時，則$r_{ij}^{(2)}=1$;
• 2. 若$r_{i2}^{(1)}=1$(即結點$v_i$到結點$v_2$直接有邊或通過結點$v_1$相連),$r_{2j}^{(1)}=1$(即結點$v_2$到結點$v_j$直接有邊或通過結點$v_1$相連),則$r_{ij}^{(2)}=1$。
• • $r_{ij}^{(2)}=1 \Leftrightarrow$ 結點$v_i$到結點$v_j$直接有邊相連或通過結點$v_1、v_2$相連;

---

• 第$k$步：由$R^{(k-1)}$求$R^{(k)}$$r_{ij}^{(k)}=r_{ij}^{(k-1)}\vee (r_{ik}^{(k-1)}\wedge r_{kj}^{(k-1)})$
• • 其含義是：
• 1. $r_{ij}^{(k)}=1 \Leftrightarrow$ 結點$v_i$到結點$v_j$直接有邊相連或通過結點$v_1,v_2,...,v_k$相連。

---

• 第$n$步：由$R^{(n-1)}$求$R^{(n)}$$r_{ij}^{(n)}=r_{ij}^{(n-1)}\vee (r_{in}^{(n-1)}\wedge r_{nj}^{(n-1)})$
• • 其含義是：
• 1. $r_{ij}^{(n)}=1 \Leftrightarrow$ 結點$v_i$到結點$v_j$之間可以通過不超過n的結點相連。

$e.g.$:用$Warshall$算法求圖G的可達矩陣。

將$V$強行命名爲$V=\{1,2,3,4\}$,則

求$R^{(0)}$	求$R^{(1)}$	求$R^{(2)}$	求$R^{(3)}$
$r_{ij}^{(0)}=a_{ij}$	$r_{ij}^{(1)}=r_{ij}^{(0)}\vee (r_{ik}^{(0)} \wedge r_{kj}^{(0)})$	$r_{ij}^{(2)}=r_{ij}^{(1)}\vee (r_{ik}^{(1)} \wedge r_{kj}^{(1)})$	$r_{ij}^{(3)}=r_{ij}^{(2)}\vee (r_{ik}^{(2)} \wedge r_{kj}^{(2)})$
$\\for\ i\ in\ rang(n):\\ \hspace{5mm}for\ i\ in\ rang(n):\\\hspace{5mm}r_{ij}^{(0)}$	$for\ i\ in\ rang(n):\\ \hspace{5mm}for\ j\ in\ rang(n):\\ \hspace{1cm}for\ k\ in\ rang(n):\\\hspace{2.5cm}r_{ij}^{(1)}=r_{ij}^{(0)}\vee (r_{ik}^{(0)} \wedge r_{kj}^{(0)})$	$for\ i\ in\ rang(n):\\ \hspace{5mm}for\ j\ in\ rang(n):\\ \hspace{1cm}for\ k\ in\ rang(n):\\ \hspace{2.5cm}r_{ij}^{(2)}=r_{ij}^{(1)}\vee (r_{ik}^{(1)} \wedge r_{kj}^{(1)})$	$for\ i\ in\ rang(n):\\ \hspace{5mm}for\ j\ in\ rang(n):\\ \hspace{1cm}for\ k\ in\ rang(n):\\ \hspace{2.5cm}r_{ij}^{(3)}=r_{ij}^{(2)}\vee (r_{ik}^{(2)} \wedge r_{kj}^{(2)})$

$R^{(0)}=A=\begin{bmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&1\\1&1&0&1\\1&0&0&0\end{bmatrix}, R^{(1)}=\begin{bmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&1\\1&1&0&1\\1&1&0&0\end{bmatrix}, R^{(2)}=\begin{bmatrix}0&1&1&1\\0&0&1&1\\1&1&1&1\\1&1&1&1\end{bmatrix}, R^{(3)}=\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&1&1&1\\1&1&1&1\\1&1&1&1\end{bmatrix}, R^{(4)}=\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&1&1&1\\1&1&1&1\\1&1&1&1\end{bmatrix}=R$

運用$Warshall$算法求$G$的可達矩陣不僅節省時間，而且節約了空間。

4.3 可達矩陣與圖的連通性

有向圖的連通性，有下列判斷方法：

1. G是強連通的 $\Leftrightarrow$ R是全1的矩陣；
2. G是單向連通的 $\Leftrightarrow$ $R \vee R^T$的元素除主對角線外全是1；
3. G是弱連通的 $\Leftrightarrow$ 由$A\vee A^T$確定的R是全1矩陣；
4. G中有圈 $\Leftrightarrow$ R中某些主對角線的元素$r_{ii}=1$。

五、帶權圖的最短路徑

5.1 帶權圖的定義

定義21：設$G=(V,E)$是簡單圖，若對於每一個$e\in E$，均有一正實數$W(e)$與之對應，則稱$W$是$G$的權函數，並稱$G爲帶有權W$的圖，簡稱帶權圖。

定義22：設$\mathcal{M}=(e_{i_1},e_{i_2},...,e_{i_k})$是帶權圖中的一條路，$\mathcal{M}$的路長爲$W(\mathcal{M})=\sum_{l=1}^kW(e_{i_l})$從$u到v$的最短路$\mathcal{P}$是指滿足下述條件的路$W(\mathcal{P})=min\{W(\mathcal{M})|\mathcal{M}爲從u到v的路\}$
如果每條邊的權函數值爲1，則帶權圖的路長與一般圖的路長是一致的。

5.2 $Dijkstra$算法

假定給定帶權圖$G$，要求$G$中從$v_0$到$v$的最短路徑，$Dijkstra$算法的基本思想是:

1. 將圖G中結點結合$V$分成兩部分：

• • 一部分稱爲$具有P標號$的集合，結點$a$的$P$標號是指從$v_0$到$a$的最短路的路長；
• • 另一部分稱爲$具有T標號$的集合，結點$b$的$T$標籤是指從$v_0$到$b$的某條路徑的長度。

2. $Dijkstra$算法中首先將$v_0$取爲P標號結點，其餘的結點均爲T標號結點；
3. 然後逐步地將具有$T$標號的結點改爲$P$標號結點，當結點$v$被改爲$P$標號時，則找到了從$v_0$到$v$的一條最短路徑。

$Dijkstra$算法的步驟：

1. 先給$v_0$一個$P$標號，$v_0$的$P$標號$d(v_0)=0$,並且$P=\{v_0\}$；對於$v_i \in T=V\setminus P$給$T$標號，它們的$T$標號按下式確定：
   $d(v_i)=\begin{cases}W(v_0,v_i),&若(v_0,v_i)\in E\\\infty,&若(v_0,v_i)\notin E \end{cases}$

2. （1）尋找具有最小$T$標號的結點。假設最小$T$標號的結點爲$v_1$，則將$v_1$的$T$標號改爲$P$標號，並且$P=P\cup \{ {v_1}\}$；（2）修改與$v_1$相鄰的結點的T標號，即對$v_i\in T=T\setminus {{v_1}}$按下式修改：$d(v_i)=\begin{cases}d(v_1)+W(v_1,v_i),&若d(v_1)+W(v_1,v_i)<d(v_i)\\d(v_i),&否則\end{cases}$

3. 反覆上述過程，直到$v$爲P標號爲止。

將上述過程形式化，就得到$Dijkstra$算法，$Python$僞碼：

# 初始化
V = ['v0','v1','v2','v3']//定義V結點列表
E = [('v0','v1'),('v1','v3'),('v2','v3'),('v0','v2')]//定義邊列表
P = ['v0']//設置P標號
T = []//設置T標號
v = 'v3'
for v in V:
	if v not in P:
		T.append(v)
# 定義權重函數
def W(p,t):
	pass
d('v0') = 0
for t in T:# 首先設置所有具有T標號的節點設置爲1000(類似無窮)
	d(t) = 1000
t0 = ''# 用來存儲將要從T中放到P中的結點
# 第一步
if t0 != v:
	for t in T:# 其次將所有具有T標號的結點中與v0相連的結點取權值W(p,t)。
		d(t) = min{d(t),d('v0')+W('v0',t)}
	for t in T:
		if d(t) is min in T:
			t0 = t
	# 第二步
	P.append(t0)
	T.remove(t0)
else:
	print('這就是Dijkstra路徑',P)

六、$Euler$圖

6.1 $Euler$圖的定義

經常遇到比如去旅遊總不會想走重複的路，或者送貨的時候怎麼避免走重複的路。比較經典的問題：

1. $Konigsberg$七橋問題
2. 計算機鼓輪問題
3. 筆畫問題
4. 中國郵路問題

定義23：設$G=(V,E)$是無相連通圖。

1. 若存在一條路，此路通過$G$中每條邊一次且僅一次，則稱此圈爲$Euler$路;
2. 若存在一圈，此圈通過$G$中每條邊一次且僅一次，則稱此圈爲$Euler$圈；
3. 若$G$中有$Euler$圈，則稱$G$爲$Euler$圖。

定理7：設$G=(V,E)$是無向連通圖，那麼G是Euler圖的充要條件是G中每個結點都是偶結點。

推論7.1：設$G$爲無向連通圖，$G$中具有$Euler$路的充要條件是$G$中恰有兩個奇結點。

定義24：設$G=(V,E)$是一無向圖，$e \in E$，若$W(G\setminus e)>W(G)$，則稱$e$爲$G$的割邊，其中$W(G)$表示$G$的連通支數。

6.2 $Fleury$ 算法

如何在恰有兩個奇結點的連通圖中尋找$Euler$路，可參考下面的方法。
$Fleury$ 算法：從一個奇結點出發，按下面步驟走一條路到另一個奇結點。

1. 從一個奇結點出發，每走一邊抹去一邊；
2. 在走邊的過程中，除非沒有其他選擇時才走割邊。

6.3 有向圖的$Euler$圖

定理8：一個有向圖有$Euler$路必須且只須（1）此圖是連通的（強連通），並且每個結點的入度等於出度；或$（2）$最多隻有兩個結點例外，它們中一個結點的入度比出度多1，另一結點的出度比入度多1。

定理9：一個有向圖有$Euler$圈，必須且只須此圖是連通的，且每個結點的入度等於出度。

定理10：設$C$是帶權圖$G$的一條包含$G$中各邊的圈，則$C$具有最小長度的充要條件是：

1. 每條邊最多重複一次；
2. 在G的每個初級圈上，有重複邊的長度只和不超過圈長的一半。

七、$Hamilton$圖

7.1 $Hamilton$圖的定義

上面是討論：一個圖是否有通過圖中每條邊一次且僅一次的路或圈的問題；
下面將討論：圖中是否存在通過每個結點一次且僅一次的路和圈的問題。

$Hamilton$圖是由$Hamilton$爵士提出的周遊世界問題，所構建的圖算法模型：
一個正十二面體，有二十個頂點，看做20個城市，能否找到一條旅遊線路線，使得由任意一個城市出發，沿着交通線經過每個城市一次且恰好一次，然後回到出發地？

7.1.1 $Hamilton$圖的定義

定義25：設$G=(V,E)$是無向連通圖。

1. 若存在一條路，此路經過$G$中每個結點一次且僅一次，則稱此路爲$Hamilton$路，記作H-路；
2. 若存在一圈，此圈經過$G$中每個結點一次且僅一次，則稱此圈爲$Hamilton$圈（又叫$Hamilton$迴路），記作，H-圈；
3. 若G中有H-圈，則稱G爲$Hamilton$圖。

7.1.2 $Hamilton$圖的必要條件

定理11：若$G$是$Hamilton$圖，則對於集合$V$的任一非空子集$S$，均有$W(G\setminus S)\leq |S|$其中$|S|$表示集合的結點數，$W(G)$表示G的連通支數；$G\setminus S$ 表示在G中刪除S中的結點以及以S中的點爲端點的所有邊而剩下的圖；$W(G\setminus S)$表示圖$G\setminus S$的連通支。

$證明$：
$\hspace{1cm}$設$C$是$G$中的$Hamilton$圈，因爲在迴路中，依次刪去一結點及與此結點相鄰的兩條邊（圖G刪掉一點，肯定要刪掉任何與之相關聯的邊），每次最多隻增加一個分支，所以$W(C\setminus S)\leq |S|，$
$\hspace{1cm}$即類似於一個圈我切上一段，而S中有幾個結點我就切幾段，每段中包含這個結點以及與此結點相連的；

由於$C\setminus S$是$G\setminus S$的一個生成子圖，因此$W(G\setminus S)\leq W(C\setminus S)，$故$W(G\setminus S)\leq |S|$

7.1.3 $Hamilton$圖的充分條件

定理12：設$G=(V,E)$是具有$n$個結點的簡單無向圖，若對任意的$u,v\in V,$均有$deg(u)+deg(v)\geq n-1$則$G$中必有一條$H$-路。

定理13：設$G=(V,E)$是具有$n$個結點的簡單無向圖，若對任意的$u,v\in V,$均有$deg(u)+deg(v)\geq n$則$G$中必有一條$H$-路。

定義26：完全圖的定向圖稱爲競賽圖

定理14：設$G=(V,E)$是一個競賽圖，$|V|=n$，則$G$中必有一條 $H$-路。

八、二分圖

8.1 二分圖的定義

定義27：設$G=(V,E)$爲簡單無向圖，如果存在$V$的一個劃分$V=V_1 \cup V_2$，使得$G$中每一條邊的一個端點在$V_1$中，另一端點在$V_2$中，則稱$G$爲二分圖，稱$V_1,V_2$爲$V$的互補結點子集。

$\hspace{1cm}$特別，當$V_1$中的每一個結點都與$V_2$中的每一個結點鄰接時，稱此圖爲完全二分圖。若$|V_1|=m,|V_2|=n,$則將此完全二分圖記作$K_{m,n}$。

$e.g.:$

如圖所示的是一個完全二分圖，其中$V_1=\{v_1,v_2,v_3\},V_2=\{v_4,v_5,v_6\},$此圖記作$K_{3,3}$。

8.2 二分圖的充要條件

定理15：設$G=(V,E)$爲簡單無向圖，$G$爲二分圖的充要條件是$G$中每一個圈的長度都是偶數。

定義28：設$G=(V,E)$是二分圖，$E\subseteq V_1\times V_2$。若$M\subset E$，且M中任何兩條邊不相鄰，則稱M是G的一個匹配；具有邊數最多的匹配稱爲最大匹配；若$|V_1|=|V_2|=|M|,$則稱M爲完美匹配，匹配M中的邊$e\in M$稱爲杆。

九、平面圖

9.1 平面圖的定義

十、樹

10.1 自由樹

定義32：設$G=(V,E)$是一個無向圖，若G是連通的且無圈，則稱G是一棵自由樹。樹中的邊稱爲樹枝；若$deg(v)=1$，稱$v$爲葉子，否則稱爲分支點。

以下皆是樹：

定理18：設$G=(V,E)$是$(n,m)$無向圖，那麼下面的六種說法是等價的：

1. G是一棵樹；
2. G的每一對結點間有且只有一條路；
3. G是連通的且$m=n-1$；
4. G是無圈的且$m=n-1$；
5. G是無圈的但若在G的任一對結點間加一邊時，恰形成一圈；
6. G是連通的但若在G中任意刪除一邊時，恰成爲兩個連通支。

定義33：設$G=(V,E)$是無向圖，若G是無圈的，則稱G是一個森林。
可以看到，若G爲森林，則G的每個連通支爲一棵樹，如下圖所示就是一個森林。

10.2 生成樹

定義34：設$G=(V,E)$是一個無向圖，$T=(V,\widetilde E)$是$G$的一個生成子圖，若$T$是一棵樹，則稱T爲G的一棵生成樹。

生成子圖不一定是連通的，生成樹是聯通的。

定理19：設$G=(V,E)$是一個無向圖，$G$中存在生成樹的充要條件是$G$爲連通圖。

定理20：設$G=(V,E)$是一連通圖，$|V|=n$，那麼$G$的生成子圖$T=(V,\widetilde E)$是一生成樹的充要條件是：$T$連通且$|\widetilde E|=n-1$。

10.3 最小生成樹

10.3.1 最小生成樹的定義

定義35：設$G=(V,E,W)$是一帶權圖，若$T=\{e_1,e_2,...,e_{n-1}\}$是$G$的一棵生成樹，定義$W(T)=\sum_{i=1}^{n-1}W(e_i)$，若$T_0$是$G$的一棵生成樹，$W(T_0)=min\{W(T)|T是生成樹\}$，稱$T_0$爲$G$的最小生成樹。
$e_i$表示邊。
下面介紹求最小生成樹的算法。

10.3.2 $Kruskal$算法（避圈法推廣）：

1. 將$G$中各邊按權值由小到大排隊$e_1,e_2,...,e_m(i<j\Rightarrow W(e_i)\leq W(e_j))$
2. $i:=1,k:=1,T:=\{e_1\};$
3. $k:=k+1$，若$T\cup \{e_k\}$無圈，則$i:=i+1,T:=T\cup \{e_k\}$，轉向4，否則轉向3；
4. 若$i=n-1$，出口；否則轉向3。