超詳細的動態規劃解決矩陣連乘

動態規劃解決矩陣連乘

問題描述：
　　給定$N$個矩陣 $\{A_1,A_2,A_3……A_n\}$，其中 $A_{i}$ 和 $A_{i+1}$ 和可以相乘的，即： $A_i$ 的行數等於 $A_{i+1}$ 的列數，如何。確定矩陣連乘的計算次序，使得安照此次序計算該矩陣連乘所需要的數乘次數最少。
　　兩個矩陣相乘，它的數乘次數等於前一個矩陣的行數乘以後一個矩陣的列數，當這些矩陣相乘的次序不同時，它的數乘次數的有很大差異的。如下例題：

例：現有四個矩陣 $A，B，C，D$，他們的維數分別是：$A=50*10，B=10*40，C=40*30，D=30*5$，則連乘 $A，B，C，D$共有五種相乘的次序，如：

1. $(A((BC)D))$，數乘次數爲 16000
2. $((AB)(CD))$，數乘次數爲 36000
3. $((A(BC))D)$，數乘次數爲 34500
4. $(A(B(CD)))$，數乘次數爲 10500
5. $(((AB)C)D)$，數乘次數爲 87500

我們可以看到，連乘的次序不同，它的數乘次數大區別也是很大的，最少的 10500 次，最多的，87500 次，相差 8 倍之多。所以，尋找一個矩陣連乘的最優分隔方式就顯得尤爲重要。

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解題思路：
　　這個問題可以使用枚舉法進行解決，枚舉每一個分隔方式的數乘次數，找到一個最小的即可，但是這樣的算法的是時間複雜度就會很大，並不是一個合格的算法，爲此，我們可以通過動態規劃來解決該問題。
　　將矩陣連乘 $A_i*A_{i+1}……A_j$ 簡記爲 $A[i:j]$。
　　1. 😉設定一個二維數組 $m[N][N]$，表示當前矩陣的連乘次數。比如： $m[i][j]$ 表示矩陣從 $A_i$ 連乘到 $A_j$ 的數乘值。
　　2. 😉再設定一個二維數組 $S[N][N]$，表示當前矩陣連乘時的具有最優解的分隔位置。比如 $s[i][j]$ 表示從矩陣從 $A_i$ 連乘到 $A_j$ 的數乘值最小時的分隔位置，可以理解爲加括號的位置。

給出遞歸關係：
$m[i][j] = \begin{cases} 0,& \text{i==j} \\ min\{m[i][k]+m[k+1][j]+A_{i-1}*A_k*A_j\}, & \text{i<j} \end{cases}$

核心算法詳解：

1. 先將m數組的對角線初始化爲0，因爲 $m[i][i]$ 表示只有一個矩陣，那它的數乘次數當然是0了。
2. 依次計算從第二個矩陣連乘到最後一個矩陣的最優解情況。
   1. 依次在 $r-1$ 個分隔位置中依次檢測最優分隔點。
   2. 對於每個分隔點，變換一次分隔位置，再進行逐一測試，如果有更優的分隔點，就替換掉當前的分隔點。

矩陣連乘實例：

連乘矩陣 ：$\{A_1,A_2,A_3,A_4,A_5,A_6\}$

m數組：

s數組：

#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 100;
int A[N];//矩陣規模
int m[N][N];//最優解
int s[N][N];
void MatrixChain(int n)
{
	int r, i, j, k;
	for (i = 0; i <= n; i++)//初始化對角線
	{
		m[i][i] = 0;
	}
	for (r = 2; r <= n; r++)//r個矩陣連乘
	{
		for (i = 1; i <= n - r + 1; i++)//r個矩陣的r-1個空隙中依次測試最優點
		{
			j = i + r - 1;
			m[i][j] = m[i][i]+m[i + 1][j] + A[i - 1] * A[i] * A[j];
			s[i][j] = i;
			for (k = i + 1; k < j; k++)//變換分隔位置，逐一測試
			{
				int t = m[i][k] + m[k + 1][j] + A[i - 1] * A[k] * A[j];
				if (t < m[i][j])//如果變換後的位置更優，則替換原來的分隔方法。
				{
					m[i][j] = t;
					s[i][j] = k;
				}
			}
		}
	}
}
void print(int i, int j)
{
	if (i == j)
	{
		cout << "A[" << i << "]";
		return;
	}
	cout << "(";
	print(i, s[i][j]);
	print(s[i][j] + 1, j);//遞歸1到s[1][j]
	cout << ")";
}
int main()
{
	int n;//n個矩陣
	cin >> n;
	int i, j;
	for (i = 0; i <= n; i++)
	{
		cin >> A[i];
	}
	MatrixChain(n);
	cout << "最佳添加括號的方式爲：";
	print(1, n);
	cout << "\n最小計算量的值爲：" << m[1][n] << endl;
	return 0;
}