卡特蘭數與錯排公式
在很多算法題目中，我們經常遇到計數類型的問題。直觀的來說，我們會去尋找其直接計算的公式，或者遞推計算的規律。然而找規律是一件很需要靈感的事情，且在短時間內往往難以確定其是否完備可靠。事實上，很多計數問題都已經被前人反覆研究證明，有了簡化而優美的模型。
卡特蘭數和錯排公式是我個人在算法問題中遇到的比較多兩個問題，因此想要專門記錄一下。後續如果再遇到類似有固定的遞推公式解法的問題，也會再添加儘量，希望做成一個專題。
卡特蘭數
卡特蘭數是在計數問題中經常出現的一個序列，有良好的性質，他的遞推公式爲，
h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + … + h(n-1)h(0) (n>=2)
可以在其基礎可以推導出通項公式，但是生硬的背通項公式往往效果較差，能夠在理解的基礎上記憶遞推公式意見足夠了。用一道例題來加深理解。
Unique Binary Search Trees (LeetCode 96)
Given n, how many structurally unique BST’s (binary search trees) that store values 1 … n?
Solution
(a) optimal substructure and DP equation
通過觀察題目，可知最小搜索樹的性質是，結點的左子樹小於該結點，右子樹大於該結點，因此可以根據整棵樹所選根節點的不同分爲兩部分。整體可構成的搜索樹總數，等於左右兩棵子樹的不同搜索樹數目的乘積。
根據該性質，定義 OPT(i) 爲BST在有 i 個結點的情況下，以 j 作爲根節點的不同的BST的數量，遞推式可以表示如下
(b) pseudo-code
def unique_bst(n):
OPT = [0 for _ in range(n+1)]
OPT[0], OPT[1] = 1, 1
for i in range(2, n+1):
OPT[i] = 0
for j in range(1, i+1):
OPT[i] += OPT[j-1] * OPT[i-j]
return OPT[n]
(c ) prove the correctness
在搜索二叉樹中，對於一個特定的根來說，唯一二叉樹的數量是其左子樹的數量乘以右子樹的數量，並且，左右子樹的形態數量與具體的數字是無關的，只與數裏的結點數目有關，因此可以使用OPT數組之前保存的結果進行遞推計算。
(d) complexity
時間複雜度爲 O(1+2+…+n) = O(n^2)
錯排公式
錯排問題是組合數學中的問題之一。考慮一個有n個元素的排列，若一個排列中所有的元素都不在自己原來的位置上，那麼這樣的排列就稱爲原排列的一個錯排。 n個元素的錯排數記爲D(n)。 研究一個排列錯排個數的問題，叫做錯排問題或稱爲更列問題。
錯排問題的遞推公式爲 D(n) = (n-1)( D(n-1) + D(n-2) )，還是用一道例題來理解這個公式。
發錯信件問題（HDOJ 1465 不容易系列之一）
HDU有個網名叫做8006的男性同學，結交網友無數，
最近該同學玩起了浪漫，同時給n個網友每人寫了一封信，
這都沒什麼，要命的是，
他竟然把所有的信都裝錯了信封！注意了，是全部裝錯喲！
現在的問題是：請大家幫可憐的8006同學計算一下，
一共有多少種可能的錯誤方式呢？
根據題目描述，這是典型的錯排問題。
在這個題目中理錯排公式，假設給a b c … 的信原本應該分別裝入A B C … 信封中，但是現在裝錯了，可以分兩種情況來理解。
- a裝到了B中，b裝到了A中。此時a和b都已經裝錯了，在此基礎上，把其他信都裝錯的方式爲爲 D(n-2)。同時，a和b的選取方式有 種，因此裝錯方式爲 (n-1)D(n-2)種。
- a裝到了B中，b不能裝到A中。++此時的任務變成了 n-1 項的錯排，即 D(n-1) ++。而類似上面例子，a和B的選取方式有 種，因此裝錯方式爲 (n-1)D(n-2)種。
綜合上面兩種情況，可以很好的理解錯排公式爲 D(n) = (n-1)( D(n-1) + D(n-2) )
理解難點
第一種情況其實比較好理解，好多人會對第二種情況中下劃線部分的轉換有些困惑。
這時候需要轉換一下思想，除去a b之外，c d e… 總共 n-2 項需要錯排。而b呢，如果把b裝入A，就又變成了第一種情況，我們可以假設b原本的位置就是要裝入A，但是爲了和第一種情況分開討論，要求b必須不能裝入A，這就又變成了一個錯排問題，因此纔有了 D(n-1)。