卡特兰数与错排公式
在很多算法题目中，我们经常遇到计数类型的问题。直观的来说，我们会去寻找其直接计算的公式，或者递推计算的规律。然而找规律是一件很需要灵感的事情，且在短时间内往往难以确定其是否完备可靠。事实上，很多计数问题都已经被前人反复研究证明，有了简化而优美的模型。
卡特兰数和错排公式是我个人在算法问题中遇到的比较多两个问题，因此想要专门记录一下。后续如果再遇到类似有固定的递推公式解法的问题，也会再添加尽量，希望做成一个专题。
卡特兰数
卡特兰数是在计数问题中经常出现的一个序列，有良好的性质，他的递推公式为，
h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + … + h(n-1)h(0) (n>=2)
可以在其基础可以推导出通项公式，但是生硬的背通项公式往往效果较差，能够在理解的基础上记忆递推公式意见足够了。用一道例题来加深理解。
Unique Binary Search Trees (LeetCode 96)
Given n, how many structurally unique BST’s (binary search trees) that store values 1 … n?
Solution
(a) optimal substructure and DP equation
通过观察题目，可知最小搜索树的性质是，结点的左子树小于该结点，右子树大于该结点，因此可以根据整棵树所选根节点的不同分为两部分。整体可构成的搜索树总数，等于左右两棵子树的不同搜索树数目的乘积。
根据该性质，定义 OPT(i) 为BST在有 i 个结点的情况下，以 j 作为根节点的不同的BST的数量，递推式可以表示如下
(b) pseudo-code
def unique_bst(n):
OPT = [0 for _ in range(n+1)]
OPT[0], OPT[1] = 1, 1
for i in range(2, n+1):
OPT[i] = 0
for j in range(1, i+1):
OPT[i] += OPT[j-1] * OPT[i-j]
return OPT[n]
(c ) prove the correctness
在搜索二叉树中，对于一个特定的根来说，唯一二叉树的数量是其左子树的数量乘以右子树的数量，并且，左右子树的形态数量与具体的数字是无关的，只与数里的结点数目有关，因此可以使用OPT数组之前保存的结果进行递推计算。
(d) complexity
时间复杂度为 O(1+2+…+n) = O(n^2)
错排公式
错排问题是组合数学中的问题之一。考虑一个有n个元素的排列，若一个排列中所有的元素都不在自己原来的位置上，那么这样的排列就称为原排列的一个错排。 n个元素的错排数记为D(n)。 研究一个排列错排个数的问题，叫做错排问题或称为更列问题。
错排问题的递推公式为 D(n) = (n-1)( D(n-1) + D(n-2) )，还是用一道例题来理解这个公式。
发错信件问题（HDOJ 1465 不容易系列之一）
HDU有个网名叫做8006的男性同学，结交网友无数，
最近该同学玩起了浪漫，同时给n个网友每人写了一封信，
这都没什么，要命的是，
他竟然把所有的信都装错了信封！注意了，是全部装错哟！
现在的问题是：请大家帮可怜的8006同学计算一下，
一共有多少种可能的错误方式呢？
根据题目描述，这是典型的错排问题。
在这个题目中理错排公式，假设给a b c … 的信原本应该分别装入A B C … 信封中，但是现在装错了，可以分两种情况来理解。
- a装到了B中，b装到了A中。此时a和b都已经装错了，在此基础上，把其他信都装错的方式为为 D(n-2)。同时，a和b的选取方式有 种，因此装错方式为 (n-1)D(n-2)种。
- a装到了B中，b不能装到A中。++此时的任务变成了 n-1 项的错排，即 D(n-1) ++。而类似上面例子，a和B的选取方式有 种，因此装错方式为 (n-1)D(n-2)种。
综合上面两种情况，可以很好的理解错排公式为 D(n) = (n-1)( D(n-1) + D(n-2) )
理解难点
第一种情况其实比较好理解，好多人会对第二种情况中下划线部分的转换有些困惑。
这时候需要转换一下思想，除去a b之外，c d e… 总共 n-2 项需要错排。而b呢，如果把b装入A，就又变成了第一种情况，我们可以假设b原本的位置就是要装入A，但是为了和第一种情况分开讨论，要求b必须不能装入A，这就又变成了一个错排问题，因此才有了 D(n-1)。