迪傑斯特拉算法之生活中的最短路徑問題求解原理

最短路徑算法在生活中有極其重要的意義與運用，如高鐵、地鐵的路線規劃問題，最近學習了迪傑斯特拉算法，頗有感慨，遂成一篇筆記以記之。
以鄰接矩陣爲存儲結構，如下圖所示：

拓撲結構圖如下：

求v0到v8的最短路徑，其實思想比較簡單，蘊含着貪心法的思想，它並不是一下子求出v0到v8的最短路徑，而是先求出v0到v1的最短路徑，再求出v2到v3的最短路徑，過程就是基於已經求出的最短路徑的基礎上，求出更遠拓撲點的最短路徑，最終得出結果；

初始時d,p,final數組的值如下：
d: 0 1 5 65535 65535 65535 65535 65535 65535
p: 0 0 0 0 0 0 0 0 0
final: 1 0 0 0 0 0 0 0 0

代碼如下：

#define MAXVEX 9
#define INFINITY 65535 //定義兩個宏，主要是便於以後修改數據

typedef int Patharc[MAXVEX];//用於存儲最短路徑下標的數組
typedef int ShortPathTable[MAXVEX];//用於存儲到各點的最短路徑權值之和 

void shortpath_dj(Mgraph g,int v0,Patharc *p,ShortPathTable *d)
{
  int v,w,k,min;
  int final[MAXVEX];//final[w]表示已經求得頂點V0到Vw的最短路徑，其實就是一個標記數組；
  
//初始化數據
for(v=0;v<.num;v++)
  {
    final[v]=0;  //全部頂點初始化爲未找到最短路徑；
    (*d)[v]=g.arc[v0][v];  //將和v0點有連線的頂點加上權值；這時初始化完成之後*d指向的數組內容即爲鄰接表的第一行內容，圖中的無窮大全部用65535替代；
    (*p)[v]=0;    //初始化路徑數組p爲0；
  }
  (*d)[v0]=0;  //v0到v0的的路徑爲0；
  final[v0]=1; //v0到v0不需要求路徑；

//開始主循環，每次求出v0到某一個頂點的最短路徑；
for(v=1;v<g.num;v++)
  {
    min=INFINITY;
    for(w=0;w<g.num;w++)
      {
        if(!final[w]&&(*d)[w]<min)
          {
            k=w;
            min=(*d)[w];
          }
      }
      final[k]=1; //表示目前找到的最近頂點下標所對應的內容置1，即代表找到了v0到該點的最短路徑；
 }

//修正當前的最短路徑以及距離；
for(w=0;w<g.num;w++)
  {
    //如果經過v頂點的路徑比現在這條路徑的長度短時，就將其覆蓋；
    if(!final[w]&&(min+g.arc[k][w]<(*d)[w]))
      {
        (*d)[w]=min+g.arc[k][w];  //修改當前路徑的長度,其實(*d)就是一個臨時數組，用來不斷去更好地取值，這也是貪心法的表現，也可以說這個數組喜新厭舊哈；
        (*p)[w]=k;   //*p你也可以理解爲是用來存放前驅結點的數組，具有雙重含義，就像現實生活中人們說話有時也有兩層意思差不多。比如(*p)[2]內容爲1，就表示v2頂點的前驅是v1！
      }
  }


}

每次循環之後，三個數組的值都會相應的變化，最終d,p,final三個輔助數組的值如下，大家可以順着程序推演一下，很容易就可以推出，也將很好的理解dj算法原理：
d: 0 1 4 7 5 8 10 12 16
p: 0 0 1 4 2 4 3 6 7
final: 1 1 1 1 1 1 1 1 1

看似複雜的算法也就是通過一步步的組合而成，仔細分析就可得其精髓。