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哈夫曼樹的介紹
Huffman Tree，中文名是哈夫曼樹或霍夫曼樹，它是最優二叉樹。
定義：給定n個權值作爲n個葉子結點，構造一棵二叉樹，若樹的帶權路徑長度達到最小，則這棵樹被稱爲哈夫曼樹。 這個定義裏面涉及到了幾個陌生的概念，下面就是一顆哈夫曼樹，我們來看圖解答。
(01) 路徑和路徑長度
定義：在一棵樹中，從一個結點往下可以達到的孩子或孫子結點之間的通路，稱爲路徑。通路中分支的數目稱爲路徑長度。若規定根結點的層數爲1，則從根結點到第L層結點的路徑長度爲L-1。
例子：100和80的路徑長度是1，50和30的路徑長度是2，20和10的路徑長度是3。
(02) 結點的權及帶權路徑長度
定義：若將樹中結點賦給一個有着某種含義的數值，則這個數值稱爲該結點的權。結點的帶權路徑長度爲：從根結點到該結點之間的路徑長度與該結點的權的乘積。
例子：節點20的路徑長度是3，它的帶權路徑長度= 路徑長度 * 權 = 3 * 20 = 60。
(03) 樹的帶權路徑長度
定義：樹的帶權路徑長度規定爲所有葉子結點的帶權路徑長度之和，記爲WPL。
例子：示例中，樹的WPL= 1*100 + 2*50 + 3*20 + 3*10 = 100 + 100 + 60 + 30 = 290。
比較下面兩棵樹
上面的兩棵樹都是以{10, 20, 50, 100}爲葉子節點的樹。
左邊的樹WPL=2*10 + 2*20 + 2*50 + 2*100 = 360
右邊的樹WPL=350
左邊的樹WPL > 右邊的樹的WPL。你也可以計算除上面兩種示例之外的情況，但實際上右邊的樹就是{10,20,50,100}對應的哈夫曼樹。至此，應該堆哈夫曼樹的概念有了一定的瞭解了，下面看看如何去構造一棵哈夫曼樹。
哈夫曼樹的圖文解析
假設有n個權值，則構造出的哈夫曼樹有n個葉子結點。 n個權值分別設爲 w1、w2、…、wn，哈夫曼樹的構造規則爲：
1. 將w1、w2、…，wn看成是有n 棵樹的森林(每棵樹僅有一個結點)；
2. 在森林中選出根結點的權值最小的兩棵樹進行合併，作爲一棵新樹的左、右子樹，且新樹的根結點權值爲其左、右子樹根結點權值之和；
3. 從森林中刪除選取的兩棵樹，並將新樹加入森林；
4. 重複(02)、(03)步，直到森林中只剩一棵樹爲止，該樹即爲所求得的哈夫曼樹。
以{5,6,7,8,15}爲例，來構造一棵哈夫曼樹。
第1步：創建森林，森林包括5棵樹，這5棵樹的權值分別是5,6,7,8,15。
第2步：在森林中，選擇根節點權值最小的兩棵樹(5和6)來進行合併，將它們作爲一顆新樹的左右孩子(誰左誰右無關緊要，這裏，我們選擇較小的作爲左孩子)，並且新樹的權值是左右孩子的權值之和。即，新樹的權值是11。 然後，將"樹5"和"樹6"從森林中刪除，並將新的樹(樹11)添加到森林中。
第3步：在森林中，選擇根節點權值最小的兩棵樹(7和8)來進行合併。得到的新樹的權值是15。 然後，將"樹7"和"樹8"從森林中刪除，並將新的樹(樹15)添加到森林中。
第4步：在森林中，選擇根節點權值最小的兩棵樹(11和15)來進行合併。得到的新樹的權值是26。 然後，將"樹11"和"樹15"從森林中刪除，並將新的樹(樹26)添加到森林中。
第5步：在森林中，選擇根節點權值最小的兩棵樹(15和26)來進行合併。得到的新樹的權值是41。 然後，將"樹15"和"樹26"從森林中刪除，並將新的樹(樹41)添加到森林中。
此時，森林中只有一棵樹(樹41)。這棵樹就是我們需要的哈夫曼樹！
哈夫曼樹的基本操作
哈夫曼樹的重點是如何構造哈夫曼樹。本文構造哈夫曼時，用到了以前介紹過的"(二叉堆)最小堆"。下面對哈夫曼樹進行講解。
1. 基本定義
template <class T>
class HuffmanNode{
public:
T key; // 權值
HuffmanNode *left; // 左孩子
HuffmanNode *right; // 右孩子
HuffmanNode *parent;// 父結點
HuffmanNode(){}
HuffmanNode(T value, HuffmanNode *l, HuffmanNode *r, HuffmanNode *p):
key(value),left(l),right(r),parent(p) {}
};
HuffmanNode是哈夫曼樹的節點類。
template <class T>
class Huffman {
private:
HuffmanNode<T> *mRoot; // 根結點
public:
Huffman();
~Huffman();
// 前序遍歷"Huffman樹"
void preOrder();
// 中序遍歷"Huffman樹"
void inOrder();
// 後序遍歷"Huffman樹"
void postOrder();
// 創建Huffman樹
void create(T a[], int size);
// 銷燬Huffman樹
void destroy();
// 打印Huffman樹
void print();
private:
// 前序遍歷"Huffman樹"
void preOrder(HuffmanNode<T>* tree) const;
// 中序遍歷"Huffman樹"
void inOrder(HuffmanNode<T>* tree) const;
// 後序遍歷"Huffman樹"
void postOrder(HuffmanNode<T>* tree) const;
// 銷燬Huffman樹
void destroy(HuffmanNode<T>* &tree);
// 打印Huffman樹
void print(HuffmanNode<T>* tree, T key, int direction);
};
Huffman是哈夫曼樹對應的類，它包含了哈夫曼樹的根節點和哈夫曼樹的相關操作。
2. 構造哈夫曼樹
/*
* 創建Huffman樹
*
* 參數說明：
* a 權值數組
* size 數組大小
*
* 返回值：
* Huffman樹的根節點
*/
template <class T>
void Huffman<T>::create(T a[], int size)
{
int i;
HuffmanNode<T> *left, *right, *parent;
MinHeap<T> *heap = new MinHeap<T>();
// 建立數組a對應的最小堆
heap->create(a, size);
for(i=0; i<size-1; i++)
{
left = heap->dumpFromMinimum(); // 最小節點是左孩子
right = heap->dumpFromMinimum(); // 其次纔是右孩子
// 新建parent節點，左右孩子分別是left/right；
// parent的大小是左右孩子之和
parent = new HuffmanNode<T>(left->key+right->key, left, right, NULL);
left->parent = parent;
right->parent = parent;
// 將parent節點數據拷貝到"最小堆"中
if (heap->copyOf(parent)!=0)
{
cout << "插入失敗!" << endl << "結束程序" << endl;
destroy(parent);
parent = NULL;
break;
}
}
mRoot = parent;
// 銷燬最小堆
heap->destroy();
delete heap;
}
首先通過heap->create(a, size)來創建最小堆。最小堆構造完成之後，進入for循環。
每次循環時：
(01) 首先，將最小堆中的最小節點拷貝一份並賦值給left，然後重塑最小堆(將最小節點和後面的節點交換位置，接着將"交換位置後的最小節點"之前的全部元素重新構造成最小堆)；
(02) 接着，再將最小堆中的最小節點拷貝一份並將其賦值right，然後再次重塑最小堆；
(03) 然後，新建節點parent，並將它作爲left和right的父節點；
(04) 接着，將parent的數據複製給最小堆中的指定節點。
在二叉堆中已經介紹過堆，這裏就不再對堆的代碼進行說明了。若有疑問，直接參考後文的源碼。其它的相關代碼，也Please RTFSC(Read The Fucking Source Code)！
哈夫曼樹的完整源碼
哈夫曼樹的源碼共包括4個文件。