文章目錄
第一題 單位變換
題目
【問題描述】
在計算機存儲中,15.125GB是多少MB?
【答案提交】
這是一道結果填空的題,你只需要算出結果後提交即可。本題的結果爲一個整數,在提交答案時只填寫這個整數,填寫多餘的內容將無法得分。
思路
1G=1024M
答案
15488
第二題 約數個數
題目
【問題描述】
1200000有多少個約數(只計算正約數)。
【答案提交】
這是一道結果填空的題,你只需要算出結果後提交即可。本題的結果爲一個整數,在提交答案時只填寫這個整數,填寫多餘的內容將無法得分。
思路
枚舉+檢查
參考代碼
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1200000;
int main() {
int ans = 0;
for (int i = 1; i <= N; ++i) {
if (N % i == 0)
ans++;
}
cout << ans << endl;
return 0;
}
答案
96
第三題 葉結點數
題目
【問題描述】
一棵包含有2019個結點的二叉樹,最多包含多少個葉結點?
【答案提交】
這是一道結果填空的題,你只需要算出結果後提交即可。本題的結果爲一個整數,在提交答案時只填寫這個整數,填寫多餘的內容將無法得分。
思路
n=n0+n1+n2,爲使葉子節點數(n0)最多,必須n1最小,設爲0,而n0=n2+1
得n2=(2019-1)/2=1009
所以n0=1010
答案
1010
第四題 數字9
題目
【問題描述】
在1至2019中,有多少個數的數位中包含數字9?
注意,有的數中的數位中包含多個9,這個數只算一次。例如,1999這個數包含數字9,在計算時只是算一個數。
【答案提交】
這是一道結果填空的題,你只需要算出結果後提交即可。本題的結果爲一個整數,在提交答案時只填寫這個整數,填寫多餘的內容將無法得分。
思路
僞代碼
for i from 9 to 2019
if str(i).contains('9')
ans++
參考代碼
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 2019;
bool check(int i) {
char s[5];
sprintf(s, "%d", i);
string str(s);
return str.find('9') != string::npos;
}
int main() {
int ans = 0;
for (int i = 9; i <= N; ++i) {
if (check(i)){
ans++;
cout<<ans<<":"<<i<<endl;
}
}
cout << ans << endl;
return 0;
}
答案
544
第五題 數位遞增的數
題目
【問題描述】
一個正整數如果任何一個數位不大於右邊相鄰的數位,則稱爲一個數位遞增的數,例如1135是一個數位遞增的數,而1024不是一個數位遞增的數。
給定正整數 n,請問在整數 1 至 n 中有多少個數位遞增的數?
【輸入格式】
輸入的第一行包含一個整數 n。
【輸出格式】
輸出一行包含一個整數,表示答案。
【樣例輸入】
30
【樣例輸出】
26
【評測用例規模與約定】
對於 40% 的評測用例,1 <= n <= 1000。
對於 80% 的評測用例,1 <= n <= 100000。
對於所有評測用例,1 <= n <= 1000000。
思路 O(kN)
迭代1~n
轉換爲字符串
迭代字符串的每一位,判斷是否滿足要求
參考代碼
#include <iostream>
#include <cstring>
void work();
using namespace std;
int main() {
while (1)//死循環爲測試用
work();
return 0;
}
void work() {
int n;
cin >> n;
int ans = 0;
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
char s[8];
sprintf(s, "%d", i);
bool flag = 1;
for (int j = 1; j < strlen(s); ++j) {
if (s[j - 1] > s[j]) {
flag = 0;
break;
}
}
if (flag)
ans++;
}
cout << ans << endl;
}
第六題 遞增三元組
題目
【問題描述】
在數列 a[1], a[2], …, a[n] 中,如果對於下標 i, j, k 滿足 0<i<j<k<n+1 且 a[i]<a[j]<a[k],則稱 a[i], a[j], a[k] 爲一組遞增三元組,a[j]爲遞增三元組的中心。
給定一個數列,請問數列中有多少個元素可能是遞增三元組的中心。
【輸入格式】
輸入的第一行包含一個整數 n。
第二行包含 n 個整數 a[1], a[2], …, a[n],相鄰的整數間用空格分隔,表示給定的數列。
【輸出格式】
輸出一行包含一個整數,表示答案。
【樣例輸入】
5
1 2 5 3 5
【樣例輸出】
2
【樣例說明】
a[2] 和 a[4] 可能是三元組的中心。
【評測用例規模與約定】
對於 50% 的評測用例,2 <= n <= 100,0 <= 數列中的數 <= 1000。
對於所有評測用例,2 <= n <= 1000,0 <= 數列中的數 <= 10000。
思路 O(N^2)
枚舉每個元素
該元素與前面的元素比較,找到小的即可
該元素與後面的元素比較,找到大的即可
上面兩項爲真,即說明當前元素可以作爲三元組的中心
O(N^2),因爲N最大爲1000,所以1秒內可以解決戰鬥。
參考代碼
#include <iostream>
void work();
using namespace std;
int main() {
while(1)//死循環爲測試用
work();
return 0;
}
void work() {
int n, ans = 0;
cin >> n;
int *data = new int[n];
for (int i = 0; i < n; ++i) {
cin>>data[i];
}
for (int j = 1; j < n-1; ++j) {
int hasSmall=0;
for (int i = 0; i <j ; ++i) {
if(data[i]<data[j]){
hasSmall=1;
break;
}
}
int hasBig=0;
for (int k = j+1; k < n; ++k) {
if(data[j]<data[k]){
hasBig = 1;
break;
}
}
if(hasSmall&&hasBig)
ans++;
}
cout << ans << endl;
delete[] data;
}
第七題 音節判斷
題目
【問題描述】
小明對類似於 hello 這種單詞非常感興趣,這種單詞可以正好分爲四段,第一段由一個或多個輔音字母組成,第二段由一個或多個元音字母組成,第三段由一個或多個輔音字母組成,第四段由一個或多個元音字母組成。
給定一個單詞,請判斷這個單詞是否也是這種單詞,如果是請輸出yes,否則請輸出no。
元音字母包括 a, e, i, o, u,共五個,其他均爲輔音字母。
【輸入格式】
輸入一行,包含一個單詞,單詞中只包含小寫英文字母。
【輸出格式】
輸出答案,或者爲yes,或者爲no。
【樣例輸入】
lanqiao
【樣例輸出】
yes
【樣例輸入】
world
【樣例輸出】
no
【評測用例規模與約定】
對於所有評測用例,單詞中的字母個數不超過100。
思路
找到第一個元音的下標index1,必須大於0,且能找到
沿着index1繼續找下一個非元音得到index2,必須能找到
沿着index2繼續找下一個元音得到index3,必須能找到
最後判斷index3-1位置的字符應該是從後往前第一個非元音(因爲index3及以後的字符都必須是元音了)
參考代碼
#include <iostream>
int work();
using namespace std;
int main() {
while (1) { //死循環是爲了測試
if (work())
cout << "yes" << endl;
else
cout << "no" << endl;
}
return 0;
}
int work() {
string word;
const string yuan = "aeiou";
getline(cin, word);
if (word.size() < 4)
return 0;
//第一個元音字符的pos
int index1 = word.find_first_of(yuan, 0);
if (index1 == 0 || index1 == string::npos) {
return 0;
}
//之後第一個非元音
int index2 = word.find_first_not_of(yuan, index1 + 1);
if (index2 == word.size() - 1 || index2 == string::npos) {
return 0;
}
//之後第一個元音
int index3 = word.find_first_of(yuan, index2 + 1);
if (index3 == string::npos) {
return 0;
}
if (index3 - 1 != word.find_last_not_of(yuan)) {
return 0;
}
return 1;
}
第八題 長草問題
題目
【問題描述】
小明有一塊空地,他將這塊空地劃分爲 n 行 m 列的小塊,每行和每列的長度都爲 1。
小明選了其中的一些小塊空地,種上了草,其他小塊仍然保持是空地。
這些草長得很快,每個月,草都會向外長出一些,如果一個小塊種了草,則它將向自己的上、下、左、右四小塊空地擴展,這四小塊空地都將變爲有草的小塊。
請告訴小明,k 個月後空地上哪些地方有草。
【輸入格式】
輸入的第一行包含兩個整數 n, m。
接下來 n 行,每行包含 m 個字母,表示初始的空地狀態,字母之間沒有空格。如果爲小數點,表示爲空地,如果字母爲 g,表示種了草。
接下來包含一個整數 k。
【輸出格式】
輸出 n 行,每行包含 m 個字母,表示 k 個月後空地的狀態。如果爲小數點,表示爲空地,如果字母爲 g,表示長了草。
【樣例輸入】
4 5
.g…
…
…g…
…
2
【樣例輸出】
gggg.
gggg.
ggggg
.ggg.
【評測用例規模與約定】
對於 30% 的評測用例,2 <= n, m <= 20。
對於 70% 的評測用例,2 <= n, m <= 100。
對於所有評測用例,2 <= n, m <= 1000,1 <= k <= 1000。
思路 O(N*M)
典型的bfs,基本是個模板題。時間複雜度最多爲O(N*M)。
參考代碼
#include <iostream>
#include <queue>
#define loop(i, x, y) for(register int i = x;i <= y;i++)
using namespace std;
//草地上的一塊
struct block {
int i;
int j;
int month;
};
const int dx[] = {1, 0, -1, 0};
const int dy[] = {0, 1, 0, -1};
int vis[1000][1000]{};
int N, M, K;
int main() {
ios::sync_with_stdio(0);
cin.tie(0);
cout.tie(0);
//freopen("in", "r", stdin);
//freopen("out", "w", stdout);
int a = clock();
cin >> N >> M;
queue<block> q;
char next_char;
cin.get(next_char);
while (next_char != '\n')cin.get(next_char);
loop(i, 0, N - 1) {
loop(j, 0, M - 1) {
cin.get(next_char);
if (next_char == 'g') {
q.push({i, j, 0});
vis[i][j] = 1;
}
}
cin.get(next_char);
while (next_char != '\n')cin.get(next_char);
}
cin >> K;
while (!q.empty()) {
block b = q.front();
q.pop();
int month = b.month;
if (month < K) {
loop(i, 0, 3) {
int nx = b.i + dx[i];
int ny = b.j + dy[i];
if (0 <= nx && nx < N && 0 <= ny && ny < M && vis[nx][ny] == 0) {
vis[nx][ny] = 1;
q.push({nx, ny, month + 1});
}
}
}
}
loop(i, 0, N - 1) {
loop(j, 0, M - 1) {
if (vis[i][j] == 1) cout << 'g';
else cout << '.';
}
cout << endl;
}
clog << clock() - a << endl;
return 0;
}
第九題 序列計數題目
題目
【問題描述】
小明想知道,滿足以下條件的正整數序列的數量:
- 第一項爲 n;
- 第二項不超過 n;
- 從第三項開始,每一項小於前兩項的差的絕對值。
請計算,對於給定的 n,有多少種滿足條件的序列。
【輸入格式】
輸入一行包含一個整數 n。
【輸出格式】
輸出一個整數,表示答案。答案可能很大,請輸出答案除以10000的餘數。
【樣例輸入】
4
【樣例輸出】
7
【樣例說明】
以下是滿足條件的序列:
4 1
4 1 1
4 1 2
4 2
4 2 1
4 3
4 4
【評測用例規模與約定】
對於 20% 的評測用例,1 <= n <= 5;
對於 50% 的評測用例,1 <= n <= 10;
對於 80% 的評測用例,1 <= n <= 100;
對於所有評測用例,1 <= n <= 1000。
思路:記憶型遞歸 O(N^3)
題幹第三點,是一個遞歸定義,可以得到遞歸式:
f(pre,cur) = f(cur,1) + f(cur,2) + ... +f(cur,abs(pre-cur)-1) + 1
pre表示前一個數,cur代表當前的數,
選定之後,序列種數等於以cur爲前序,以1到abs-1爲當前的序列數的總和再加1.
如f(5,2) = f(2,1)+f(2,2).
但是暴力遞歸的複雜度是指數級,輸入1000時,實測運行時間爲1000~2000ms;
基本的優化方案是加狀態記憶:
參考代碼
#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <ctime>
#define _for(i, x, y) for(register int i = x;i <= y;i++)
#define _fordw(i, x, y) for(register int i = x;i >= y;i--)
typedef long long LL;
using namespace std;
int N;
LL ans;
const int MOD = 10000;
int mem[1001][1000];
LL dfs(int pre, int cur) {
// 詢問狀態
if (mem[pre][cur] != 0)
return mem[pre][cur];
LL ans = 1;
_for(j, 1,abs(pre-cur) - 1) {
ans = (ans + dfs(cur, j)) % MOD;
}
//記錄狀態
mem[pre][cur] = ans;
return ans;
}
void work() {
ans = 0;
cin >> N;
// f(pre,cur) = sum(f(cur,_new))|_new from 1 to abs(pre-cur)-1
_for(x, 1, N) ans = (ans + dfs(N, x)) % MOD;
cout << ans << endl;
}
進一步優化
至此,能通過80%的數據(在1000ms限制下);
解空間是N的平方(詳細爲N*N)表格,但是每次都要循環加總,所以成了N的立方,在同樣的解空間下,避免循環加總,即可優化到N的平方
重新考慮狀態的轉移:
如果我們用f(i,j)表示前一個數是i,當前數是1到j的合法序列的個數;有f(i,j) = 1 + f(i,j-1) + f(j,abs(i-j)-1)即分爲兩個部分1)i作爲前一個數,從1j-1爲當前數的合法序列的個數已經計算好,2)求以j爲尾數,後面選擇1abs(i-j)-1的合法序列的個數。
如 f(10,5)=f(10,4)+f(5,4);而不是枚舉1到5;這樣每次解答樹只展開兩個節點,相當於減少一層循環,雖然解答樹的層次還是很深,但是由於記憶的存在,解空間仍然是N的平方。可在100ms內解決。
參考代碼
#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <ctime>
typedef long long LL;
using namespace std;
int N;
const int MOD = 10000;
int mem[1001][1000];
int dfs(int pre, int cur) {
if (cur <= 0) return 0;
if (mem[pre][cur] != 0) return mem[pre][cur];
return mem[pre][cur] = (1 + dfs(pre, cur - 1) + dfs(cur, abs(pre - cur) - 1)) % MOD;
}
void work() {
cin >> N;
cout << dfs(N, N) << endl;
}
int main() {
ios::sync_with_stdio(0);
cin.tie(0);
cout.tie(0);
int a = clock();
work();
int b = clock();
clog << (b - a) << endl;
return 0;
}
第十題 晚會節目單
題目
【問題描述】
小明要組織一臺晚會,總共準備了 n 個節目。然後晚會的時間有限,他只能最終選擇其中的 m 個節目。
這 n 個節目是按照小明設想的順序給定的,順序不能改變。
小明發現,觀衆對於晚會的喜歡程度與前幾個節目的好看程度有非常大的關係,他希望選出的第一個節目儘可能好看,在此前提下希望第二個節目儘可能好看,依次類推。
小明給每個節目定義了一個好看值,請你幫助小明選擇出 m 個節目,滿足他的要求。
【輸入格式】
輸入的第一行包含兩個整數 n, m ,表示節目的數量和要選擇的數量。
第二行包含 n 個整數,依次爲每個節目的好看值。
【輸出格式】
輸出一行包含 m 個整數,爲選出的節目的好看值。
【樣例輸入】
5 3
3 1 2 5 4
【樣例輸出】
3 5 4
【樣例說明】
選擇了第1, 4, 5個節目。
【評測用例規模與約定】
對於 30% 的評測用例,1 <= n <= 20;
對於 60% 的評測用例,1 <= n <= 100;
對於所有評測用例,1 <= n <= 100000,0 <= 節目的好看值 <= 100000。
錯誤思路
如果用兩次排序求解,那就錯了。因爲並不是要選出的方案的好看值總和最大,而是要從前往後儘量好看。
思路 O(N^2)
此題關鍵在於“第一個節目儘可能好看”並希望“第二個節目儘可能好看”……那麼我們選擇的第一節目就是max(g[0]~g[n-m])閉區間,要選擇的第二個節目是max(g[lastMax+1],g[n-m+1])及從上一個節目往下到n-m+1這個區間裏面選最好看的,直到剩下的必須全部選擇。
算法用尺取法,雙指針移動。理論上的複雜度是O(M*(N-M)),極端情況是M=N/2,整體達到(N^2)/2。如果輸入數據爲:
100000 50000
100000 99999 ...
實測運行時間爲:10秒以上
參考代碼
int N, M;
void work() {
cin >> N >> M;
vector<int> games(N);
for (int i = 0; i < N; i++) {
cin >> games[i];
}
int pos_max = 0, pos_1 = 0, pos_2 = N - M;
while (pos_1 < pos_2 && pos_2 < N) {
while (pos_1 < pos_2)
if (games[++pos_1] > games[pos_max])pos_max = pos_1;
cout << games[pos_max] << " ";
pos_1 = pos_max + 1;
pos_2++;
pos_max = pos_1;
}
while (pos_2 != N) {
cout << games[pos_2++] << " ";
}
cout << endl;
}
優化:區間最值查詢 O(NlogN)
while (pos_1 < pos_2)
if (games[++pos_1] > games[pos_max])pos_max = pos_1;
這一段代碼是區間內查詢最大值,反覆多次,且數據是靜態的,所以選擇ST做RMQ。
f[i][j]表示以 i 爲起點,連續 2^j 個數中的最大值(的下標);
轉移方程就是:f[i][j] = data[f[i][j-1]] >= data[f[i+pow_2(j-1)][j-1]]?f[i][j-1]:f[i+pow_2(j-1)][j-1];
注:比較原始數據,記錄下標
由於預處理是O(nlogn),M次查詢是O(M),每次查詢是O(1),所以整體複雜度爲O(nlogn)。
下列代碼實測運行時間100ms以內
參考代碼
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
int N, M;
vector<int> data;
/*===st rmq的數據 begin===*/
const int MAX_N = 100005;
const int MAX_POW = 20;
int f[MAX_N][MAX_POW], Log[MAX_N];
/*===st rmq的數據 end===*/
/*===st rmq的函數 begin===*/
void initLog() {
Log[1] = 0;//2的0次方爲1,log2_1 = 0;
for (int i = 2; i <= N; ++i) {
Log[i] = Log[i / 2] +1;
}
}
//2的p次方
int pow_2(int p) {
return 1 << p;
}
void initSt() {
int i, j;
for (i = 0; i < N; ++i) {
f[i][0] = i;//注意這裏存的是下標,而不是值
}
for (j = 1; pow_2(j) < N; ++j) {
for (i = 0; i + pow_2(j-1) < N; ++i) {
int index1 = f[i][j - 1];
int index2 = f[i + pow_2(j - 1)][j - 1];
f[i][j] = data[index1] > data[index2] ? index1 : index2;
}
}
}
int query(int l,int r){
int len = r-l+1;
int k = Log[len];
int index1 = f[l][k];
int index2 = f[r - pow_2(k) + 1][k];
return data[index1] > data[index2] ? index1 : index2;
}
/*===st rmq的函數 end===*/
void work() {
std::ios::sync_with_stdio(0);
cin.tie(0);
cout.tie(0);
cin >> N >> M;
data = vector<int>(N);
for (int i = 0; i < N; i++) {
cin >> data[i];
}
/*===初始化st rmq相關數據===*/
initLog();
initSt();
int pos_max = 0, pos_1 = 0, pos_2 = N - M;
while (pos_1 < pos_2 && pos_2 < N) {
/* while (pos_1 < pos_2)
if (data[++pos_1] > data[pos_max])pos_max = pos_1;*/
pos_max = query(pos_1,pos_2);
cout << data[pos_max] << " ";
pos_1 = pos_max + 1;
pos_2++;
//pos_max = pos_1;
}
while (pos_2 != N) {
cout << data[pos_2++] << " ";
}
cout << endl;
}
int main() {
/* 造數據
freopen("E:\\data\\my10_1.in", "w", stdout);
cout<<100000<<" "<<50000<<endl;
for (int i = 0; i < 100000; ++i) {
cout<<100000-i<<" ";
}
cout<<endl;*/
freopen("E:\\data\\my10_1.in", "r", stdin);
int a = clock();
work();
int b = clock();
clog << (b - a) << endl;
return 0;
}