提出問題
八皇后問題：在8*8格的國際象棋上擺放8個皇后，使其不能互相攻擊，即任意兩個皇后都不能處於同一行、同一列或同一斜線上，問有多少種擺法。
如何解決這個問題？一種常用且有效的方法是回溯法，是用樹形結構描述問題的求解過程。
什麼是回溯法
回溯法是一類非常重要的算法設計方法，有“通用解題法”之稱。
回溯法（探索與回溯法）：一種選優搜索法，又稱試探法。利用試探性的方法，在包含問題所有解的解空間樹中，將可能的結果搜索一遍，從而獲得滿足條件的解。搜索過程採用深度遍歷策略，並隨時判定結點是否滿足條件要求，滿足要求就繼續向下搜索，若不滿足要求則回溯到上一層，這種解決問題的方法稱爲回溯法。
回溯法解求解問題步驟
- 針對給定問題，定義問題的解空間樹
- 確定易於搜索的解空間結構
- 以深度優先方式搜索解空間，並且在搜索過程中永剪枝函數避免無效搜索。
用回溯法求解問題，重點是設計問題的解空間樹，其解題過程則是深度遍歷解空間樹的過程。
解空間樹：是依據待求解問題的特性，用樹結構表示問題的解結構、用葉子表示問題所有可能的解的一棵樹。
解空間樹的形成過程：我們可以把求解問題的過程當作一系列的決定來考慮，回溯法對每一個決定都系統地分析所有可能的結果。而每一次決定即爲解空間樹中的一個分支結點，各種可能的結果便形成了各棵不同的子樹，問題最終所有可能的解將展現在所有的葉子上。這便是解空間樹的形成過程。
對解空間樹的遍歷可搜索到問題所有可能的解，因此，可獲得滿足要求的全部解，也可通過對所有解的比較選擇獲得最優解。
由於空間問題，下面給出一個三皇后問題的解空間樹（3皇后問題無解），樹中第i層的結點決定第i行皇后的擺放位置，均有三種不同的選擇，便形成了三個孩子結點，但其中不包括不符合要求的佈局。N皇后問題解空間樹與三皇后問題解空間樹類似。
求解N皇后問題的回溯法
N皇后問題要求求解在N*N的棋盤上放置N個皇后，並使各皇后彼此不受攻擊的所有可能的棋盤佈局。皇后彼此不受攻擊的約束條件是：任何兩個皇后均不能在棋盤上同一行、同一列或者同一對角線上出現。
由於N皇后問題不允許兩個皇后在同一行，所以，可用一維數組X表示N皇后問題的解，X[i]表示第i行的皇后所在的列號。例如一個滿足要求的四皇后棋盤佈局如下圖所示，其結果X數組的值爲：[2， 4， 1， 3]。
由上述X數組求解N皇后問題，保障了任意兩個皇后不在同一行上，而判定皇后彼此不受攻擊的其他條件，可以描述如下：
（1）X[i] = X[s]，則第i行與第s行皇后在同一列上。
（2）如果第i行的皇后在第j列，第s行皇后在第t列，即X[i] = j和X[s] = t，則只要i-j = s-t或者i+j = s+t，說明兩個皇后在同一對角線上。
對兩個等式進行變換後，得到結論：只要|i-s| = |j-t|（即i-s = X[i]-X[s]），則皇后在同一對角線上。
解N皇后問題需要遍歷解空間樹，遍歷中要隨時判定當前結點棋盤佈局是否符合要求，符合要求則繼續向下遍歷，直至判斷得到一個滿足約束條件的葉子結點，從而獲得一個滿足要求的棋盤佈局；不符合要求的結點將被捨棄（稱之爲剪枝），並回溯到上一層的結點繼續遍歷。當整棵樹遍歷結束時，已獲得所有滿足要求的棋盤佈局。
綜上所述，用回溯法遞歸遍歷解空間樹，求解N皇后問題的算法如下（Java）。
/*
* 求解N皇后問題的回溯算法
* 棋盤爲n*n，函數從第index行起求解皇后的佈局，本函數初始調用爲tria(1, n)
*/
public void tria(int index, int n) {
if(index > n) {
// TODO 輸出X數組（也可以改寫算法，比如記錄滿足約束的棋盤個數）
} else {
//依次生成各孩子結點
for(int j = 1; j <= n; j++) {
//第index行的皇后放入第j列
X[index] = j;
if(place(index)) {
tria(i+1, n);
//結點滿足約束條件，則遞歸進入下一層繼續遍歷，否則跳過
}
}
}
}
/*
* 皇后位置滿足約束條件的判定函數
*/
private boolean place(int s) {
//判定s行X[s]位置上的皇后，與1至s-1行上各皇后的位置是否滿足約束條件
for(int i = 1; i < s; i++) {
if((X[i] == X[s]) || (Math.abs(i-s) == Math.abs(X[i]-X[s]))) {
return false;
}
}
return true;
}求解八皇后問題代碼實現
public class Main2 {
static int resultCount = 0;
private static boolean place(int[] arr, int s) {
for(int i = 0; i < s; i++) {
if((arr[i] == arr[s]) || (Math.abs(i-s) == Math.abs(arr[i]-arr[s]))) {
return false;
}
}
return true;
}
public static void tria(int[] arr, int i, int n) {
if(i >= n) {
++resultCount;
} else {
for(int j = 0; j < n; j++) {
arr[i] = j;
if(place(arr, i)) {
tria(arr, i+1, n);
}
}
}
}
public static void main(String[] args) {
int[] queen = new int[8];
tria(queen, 0, 8);
System.out.println(resultCount);
}
}