Hash
它是什么？
哈希表是又称散列表，一种以 “key-value” 形式存储数据的数据结构。所谓以 “key-value” 形式存储数据，是指任意的 key 都唯一对应到内存中的某个位置。只需要输入查找的值 key，就可以快速地找到其对应的 value。可以把哈希表理解为一种高级的数组，这种数组的下标可以是很大的整数，浮点数，字符串甚至结构体。
为什么存在？
有时关键码空间的数量级可能远远大于实际问题的空间，造成了巨大的浪费，我们使用桶(bucket)直接存放或间接指向一个词条。
优缺点？
优点:
>>>空间利用率 ：
问题空间N，关键码空间R，桶数组(bucket array)或散列表(hash table),容量为M，则：
N < M << R
空间 = O( N + M )=O(N)
M尽可能与N同阶，所以至少与使用关键码空间相比空间利用率大大的提高了。
>>>常数级的查找时间 ：
因为哈希表遵循的是循值访问，所以查找时间只需要O(1)，这是再好不过的了。
缺点：
>>>冲突：
hash(key) = key % M
冲突是无法避免的，但是我们可以尽量减少冲突，并从以下两个方向入手：
- 精心设计散列表及散列函数，以尽可能降低冲突的概率；
- 制定可行的预案，以便在发生冲突时，能够尽快予以排解。
怎么用？
>>>循值访问
>>>散列函数的设计：
- 除余法 ：hash(key) = key % M
M应当选取素数。步长为step，gcd(step,M)=G,当且仅当 G == 1时，足迹能够遍布整个散列表。又由于step不能确定，所以M应是一个素数。
- MAD法 (multiply-add-divide) ：hash(key) = ( a * key + b ) % M
除余法有两个缺陷。
一：它有不动点。无论表长M取值如何，总有hash(0) ≡ 0
二：零阶均匀。[ 0 ,R)的关键码，平均分配至M个桶；但相邻的关键码的散列地址也比相邻。
取M为素数，a > 0，b > 0，a % M != 0。hash(key) = ( a * key + b ) % M
- 平方取中 (mid-square) ：取 key^2的中间若干位，构成地址
原理：将平方运算分解为一系列的左移操作，以及若干次加法，思想类似于快速幂,如13^2=13 + (13)<<2 + (13)<<3。如果忽略进位，每个数位都是由原关键码若干次求和得到的，因此两侧的数位是由更少的原数位累积而得，而越是居中的数位是由更多的原数位累积，截取居中的若干位，可以使得原关键码各数位对最终地址的影响彼此更为接近。
-
多项式法 ：
与Karp-Rabin算法:串即是数的思想吻合。 -
更多散列函数 ：数字分析法(selecting digits)，折叠法(folding)，位异或法(XOR)，伪随机数法(#!慎用此法)法等
>>>排解冲突 ：
- 独立链(linker-list chaining / separate chaining)
每个桶存放一个指针，冲突的词条，组成列表。封闭定址(closed addressing)策略，每个桶只能存放与这个桶单元的地址相冲突的词条。
优点 ：
1. 无需为每个桶预留多个槽位
2. 任意多次的冲突都可解决
3. 删除操作实现简单、统一
但是 ：
1.指针需要额外空间
2. 节点需要动态申请(时间成本要比常规操作高出两个数量级)
3. 更重要的是系统缓存几乎失效！每个桶内部的查找都是沿着对应的列表顺序进行的，在此之前各节点的插入和删除顺序是随机的，对于任何一个列表而言，其中的节点在物理空间上往往不是连续分布的，无法利用有效的缓存加速查找，当散列表的长度非常大，要使用到IO时，这种问题会更加明显。
- 开放定址(open addressing ~ closed hashing) :
散列表所占用的空间在物理上始终是与地址一致的，无需申请额外的空间。每一个词条都可以存放在任何一个桶中。为每个桶事先约定若干备用桶，它们构成一个查找链(probing sequence/chain)。
沿查找链查找，逐个转向下一桶单元，直到
命中成功，或者抵达一个空桶失败
线性探索(Linear probing) 一旦冲突，则试探后一紧邻桶单元；
[ hash(key) + 1 ] % M
[ hash(key) + 2 ] % M
[ hash(key) + 3 ] % M
...
优点：
1. 无需附加的空间
2. 查找链具有局部性，可充分利用系统缓存，有效减少I/O
但是：
1. 操作时间大于O(1)
2. 冲突增多，以往的冲突，会导致后续的的冲突clustering。
懒惰删除： 使用时需要特别注意删除，如果直接删除，后续词条将丢失—明明存在却访问不到。这时需要进行懒惰删除，对需要删除的某一词条进行标记，查找操作遇到标记转向下一个继续查找，插入操作遇到标记则直接将词条插入在此处。
- 平方试探(Quadratic probing) ：
open addressing和closed addressing都属于线性试探，而线性试探有一个问题就是试探位置间距太小，大部分的试探的位置都集中于某一个相对很小的局部。因此不妨适当的拉开各次试探的间距，平方试探就是这一思路的具体体现。
以平方数为距离，确定下一试探桶单元
[ hash(key) + 1^2 ] % M
[ hash(key) + 2^2 ] % M
[ hash(key) + 3^2 ] % M
[ hash(key) + 4^2 ] % M
优点 ：
数据聚集现象有所缓解，在查找链上，各桶间距线性递增，一旦冲突，可聪明地跳离。
缺点 :
1. 若设计外存，I/O将激增。平方试探策略将在一定程度上破坏数据访问的局部性，甚至系统缓存的功能会失效，不过通常情况下这个问题还不算很严重。不失一般性，取系统缓存页面的大小为1KB，如果桶单元只记录相应的引用，大致需要4字节，每一个缓存页面都可以容纳至少256个桶单元,,也就是说要做一次额外的I/O对换，必须连续的发生16次冲突，机率其实是非常小的。
2. 可能会出现空桶。
如 { 0, 1, 2, 3, 4, 5, … }^2 % 12 = {0, 1, 4, 9}
只会涉及到其中的4个单元。没有办法找到剩下2/3的空桶。这里M选的12是一个合数，借组数论的知识不难证明，只要表长M是合数，这种情况必然发生，因为 n^2 % M 可能的取值必然少于[M/2]([]为向上取整，()为向下取整，之后不再说明)种。
将表长变为素数，如 { 0, 1, 2, 3, 4, 5, … }^2 % 11 = {0, 1, 4, 9, 5, 3}。
M若为素数： n^2 % M 可能的取值恰好会有 [M/2]种—此前，恰由查找链的前[M/2],因为一般的素数M都是奇数，所以这个比例刚刚超过50%，这是情况可能到的最坏程度。
关于这一点的正面结论是：若M是素数，但装填因子< 0.5,就一定能找出；否则，不一定。
反证法证明这个结论：
假设存在 0 <= a < b < [M/2] ,使得沿着查找链，第a项和第b项彼此冲突。
即
然而
得
得到(b+a)竟然是M是一个非平凡因子，这与M是素数矛盾！
- 双向平方试探 ：
一旦发生冲突，则交替的向前向后以递增的平方数为间隔逐一试探。
[ hash(key) + 1^2 ] % M
[ hash(key) - 1^2 ] % M
[ hash(key) + 2^2 ] % M
[ hash(key) - 2^2 ] % M
[ hash(key) + 3^2 ] % M
[ hash(key) - 3^2 ] % M
...
正向和逆向的子查找链，各包含[m/2]个互异的桶，但是有些素数会让这两个序列存在除0以外公共的桶。
结论：若表长取做素数 M = 4 * K +3，必然可以保证查找链的前M项均互异。
反证法证明：
M=4*K+3
设正向试探序列的第a步与逆向试探序列的第b步冲突，
而且应当是1<= b , a <= (M/2)
冲突即 -b^2 和 a^2 是一个同余类
-b^2 ≡ a ^2 (mod M)
设a^2 + b^2 =n
0 ≡ a^2 + b^2 = n (mod M)
所以M是n的一个素因子，
根据费马双平方定理的推论，
n不仅能被M整除，也能被M^2整除
所以M ^2 <= a^2 + b^2
但是与b , a <= (M/2)矛盾，即不可能成立。
费马双平方定理---任一素数p可表示为一对整数的平方和，当且仅当p%4=1
费马双平方定理的推论---任一自然数n可表示为一对正数的平方和，当且仅当在其素分解中，
形如 M = 4*K+3的每一素因子均为偶数次方。
extend
>>>什么样的哈希函数才是更好的？
- 确定determinism : 同一关键码总是被映射至同一单元。
- 快速efficiency ：expected-O(1)
- 满射surjection : 尽可能充分地覆盖整个散列空间
- 均匀uniformity : 关键码映射到散列表各位置的概率尽量接近(可有效避免聚集clostering现象)
>>> 关于哈希的题
哈希表的查找只需要O(1)，我觉得强大的不只是哈希表，更主要是hash带给我们的这种思想，比如说Karp-Rabin算法，而且我觉得状压也是有这种思想的，这些都是一种把信息压缩的思想，充分利用信息。附上两道这两天的leetcode的打卡题，我觉得还是很不错的。
内容是对邓俊辉邓老师学堂在线上的数据结构(下)(2020春)第九章词典的总结。(邓老师的课真的太好了)