遞歸這玩意兒，尤其是對於初學者，在數據結構和算法中歸爲“玄學”一類。咳咳，如果今天鹿哥能把這玄學的玩意兒講明白，豈不是要上天。同樣講不明白的後果，鹿哥將會被後臺的石錘大隊石錘…
其實不學遞歸也沒啥，但是學到後邊會發現，什麼 0-1 揹包問題（動態規劃內容，也可以用遞歸解決）、深度廣度優先遍歷、八皇后問題，回溯算法等，反正各種內容都會涉及到遞歸。所以，今天放句狠話，必須搞它，搞的它明明白白的。
（此篇調動全身的細胞去講明白遞歸，雖然看起來很簡單，但是給一個沒有接觸過遞歸的人講懂很難）
什麼是遞歸
對於玄學，絕不能用正常思維去搞它，那絕對是搞不它的。既然是玄學，那我們就採用玄學思維去理解和分析遞歸。
爲啥叫它玄學？不是有多難，而是有些人，一看就明白，一用就是精髓。而有些人呢，比如我，一開始咋看咋覺得這東西就像是“黑洞”，遞進去，就歸不出來了。
劃重點，遞歸，必須有遞有歸才叫遞歸。爲了能夠形象的代表一下，先了解一下遞歸的操作，小二，上動畫。
從一個簡單問題入手
要想搞懂遞歸，不能直接上手複雜的遞歸問題，而是先從一個簡單的問題入手。
我們就拿排隊打飯的例子，如果鹿哥要去餐廳，人太多，不得不去排隊，但是此時我想知道自己是隊伍中第幾個，由於隊伍太長，我看不到隊伍的第一個人，自然而然沒法一個個的數。
那麼玄學遞歸排上用場了，我會讓我前邊的人依次問自己是當前第幾個人，然後依次類推，直到問到第一個人，那麼這個過程是“遞”的過程。
第一個人不耐煩吼了一聲，你眼X啊，沒看到我是第一個人，正在打飯嗎？
這個人吼了一聲，這個就是所謂的終止條件，也就是遞的終點。
此時，鹿哥肚子咕咕的叫了兩聲，當然，我現在還不知道自己是隊伍第幾個。此時隊伍中的第二個人知道位置了，然後告訴第三個人，第三個人告訴第四個人…
最後，我前一個人告訴他目前在隊伍中是第幾個，那麼鹿哥就知道自己此時的位置。很容易理解，這個過程就是“歸”的過程。
遇到的問題
由此看來，鹿哥的道德素質沒的說，從來不插隊，而且還能理解遞歸，一個字“騷”，兩個字“真騷”。
這時候有人要說了，這個過程俺早就理解了，但是對於有些遞歸問題和代碼，腦子裏總是想不明白層層嵌套的過程，而且總是想着想着就遞進去，歸不出來了，哎，我這腦子，是不是很笨呢。
鹿哥告訴大家，其實不用擔心，凡事都要有個過程，要有個思想轉化的過程，要用心去感受，感受它的撫摸，感受它帶給你的快感。
這時候，很多人的告訴你的解決辦法是，不要去想這個過程，要去尋找終止條件和遞推公式，然後按照套路寫出代碼。
嗯~ 對~，鹿哥認爲上邊確實說的沒錯，但是這類玄學玩家並沒有搞明白爲什麼初學者往往去想這個過程，進入這個過程圈套呢？
鹿哥想了一想，結合自己學習遞歸的經驗，越是想不明白，就越想弄明白遞歸過程，這不叫刨根問底，這叫“騷氣風發”。
假如我們搞明白一次遞歸的整個過程，那麼以後遇到其他的遞歸就無需去想這個過程了，因爲其他的遞歸幾乎一樣的套路，我們心理上接受之後，假裝自己知道了所有的遞歸過程，以後再遇遞歸，不再去想這個過程，而是直接按照公式套用不就 OK 了嗎？
鹿哥，你說起來容易，你能用什麼方法讓我們這些剛接觸過遞歸的人明白這個遞歸過程。其實這件事困擾了鹿哥好久，作爲一個爲被稱爲寫文風騷，動畫風騷的鹿哥，今天斗膽嘗試一下，看懂了就給我瘋狂在底部點贊，把鹿哥按到地上摩擦，這才能凸顯出鹿哥的 Sao 氣。
用動畫理解遞歸
繼續拿排隊那個例子，我們已經知道了終止條件和層與層之間的關係。
終止條件爲：f(1) = 1，也就是第一個人知道自己的位置的。然後層與層之間的關係爲 + 1 的關係，也就是說求第 n 個人在隊伍中的位置 f(n)，那麼就問一下前一個人，也就是 n-1 在隊伍當中的位置 f(n-1) 加上 1，也就是 f(n-1) + 1。
有點繞口，咱們看完整的實現代碼：
如果你還是有點懵逼的話，還是不能理解整個程序的運作，小二，上圖解和動畫。
上邊的動畫是我們人腦的理解，而下邊的動畫纔是程序真正的調用過程。
每個顏色的方塊代表的是該每一層遞歸的函數，而程序是自上而下執行滴，也就是下邊這種形式。
如果你理解函數的執行過程就是入棧過程的話，其實遞歸就是不斷入棧的過程，然後最裏層的函數執行完畢，然後函數依次出棧。
如果你寥寥草草的閱讀完畢，並沒有感覺看懂遞歸過程，這可真不怪你們鹿哥了，你鹿哥已經盡力用動畫去還原程序遞歸過程和大腦的遞歸過程了。
光說不練假把式
如果上邊你能夠喫透，那麼下面的那些題型以及以後的文章所提到的各種有關遞歸的過程，真的不在話下。有時候只是換了一個角度理解，換了一個角度理解，換了一個角度理解，鹿哥重要的 Sao 話說三遍。
再來一個叫什麼斐波那契數列的那傢伙，槓槓滴。找規律 0、1、1、2、3、5、8、13、21… 沒錯，除了第一第二個，剩餘的數據都是前兩個數據之和，那麼求第 n 個數據是多少？
其實這個問題對你來說已經小 K 死了，就是換了個模樣，前兩個數不就是換了一個問法，也就是上邊排隊的時候，鹿哥前邊兩個人嘛？一個叫 n-1 一個叫 n-2，終止條件變成兩個窗口，同時給第一個人和第二個人打飯，也就是 f(1) = 0，f(2) = 1。
直接出結果，代碼如下：
我會變形，專門誤導你
其實相同的遞歸公式確有不同的理解方式，這你敢信？難道這就是遞歸歸爲玄學的地方，不信你看，下面說來就來了。
一個蛤蟆二條腿，兩隻蛤蟆四條腿 三隻…，不對，應該是蛤蟆一次可能跳上一個臺階，也有可能一次跳兩個臺階，那麼 n 個臺階，有幾種跳躍方式呢？
這個咋就和上邊排隊不一樣了呢？嗯，不知道如何理解和下手。
其實這個數蛤蟆腿，不對，這個蛤蟆跳臺階的問題只不過換了一種思考方式，我們來看這種思想是如何繞暈我們的。
一個臺階，只存在一種可能，那就是讓蛤蟆跳一次。二個臺階，有兩種可能，那就是讓蛤蟆一次只跳一個臺階，或者一次性挑兩個臺階。那麼三個臺階，你自己數數去吧，我就不囉嗦了。
那麼 n 個臺階有幾次可能，這樣一個個數太費勁，我們換種思想，也就是遞歸的思想。我們將蛤蟆跳臺階分爲 m 次跳上去。第一次跳，有兩種方式，那就是要麼一次性跳一個臺階，剩餘的 n-1 個臺階我先不管。或者第一次跳兩個臺階，剩餘的 n-2 個臺階我暫時不管。
如果 f（n） = m，也就是當前有多少次跳法。我想把上邊的兩種相加，剩餘的暫時先不管，也就是 f(n) = f(n-1) + f(n-2)。
那麼神奇的一刻就要來了，n 個臺階，我決定了第一次只跳一個臺階之後，那剩餘 n-1 個臺階的每個臺階就會面臨同樣的選擇。如果我決定了第一次只跳 2 個臺階之後，那麼剩餘的 n-2 個臺階的每個臺階也會面臨同樣的選擇。
蛤蟆的的第一次就這樣交在鹿哥手中，要麼你第一次跳一個，要麼跳兩個，想一步登天喫天鵝肉，沒門。剩餘的 f(n-1) 和 f(n-2) 面臨同樣的選擇呀。
只要把 f(n - 1) + f(n - 2) 相加，就是 n 個臺階有幾種跳法了。我知道，大部分初學者還是不理解這個思想，圖解來一波。
思考總結
你會發現蛤蟆跳臺階的問題，得出來的遞推公式竟然和斐波那契數列的遞推公式竟然相同，但是終止條件不同的。
這時你必須像鹿哥一樣陷入玄學遞歸的大思考，同樣的一個遞推公式，竟然有兩種思想，感覺這世界還有這麼 TM 神奇的事情，這兩者讓我陷入了對人生的大思考…
今天的遞歸基礎理解內容就到這裏了，後邊還會繼續分享更復雜的遞歸，雖然表面上假裝讓它複雜，但是就是換湯不換藥，比如深度廣度優先遍歷，八皇后問題，回溯算法等，都是和今天分享的八九不離十，最重要的是多去思考和感悟以及總結，這個過程值的你去做。
騷氣的鹿哥寫文不易啊，不要手下留贊，因爲這將決定下一篇你鹿哥輸出的動力，點了贊你就是鹿哥的人，鹿哥今後罩着你。
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