《Introduction to discrete event systems》學習筆記---第四章

4.1 INTRODUCTION

Petri網爲DES的非定時模型提供了自動機的替代方法。Petri網是一種根據某些規則操縱事件的設備。它的功能之一是它包含可啓用事件的顯式條件。這允許表示非常通用的DES，其操作取決於潛在的複雜控制方案。至少對於小型系統，可以方便地以圖形方式描述此表示形式，從而生成Petri網圖； Petri網圖非常直觀，可以捕獲有關係統的許多結構信息。我們將看到，自動機始終可以表示爲Petri網。另一方面，並​​非所有的Petri網都可以表示爲有限狀態自動機。

4.2 PETRI NET BASICS

定義Petri網的過程涉及兩個步驟。首先，我們定義Petri網圖，也稱爲Petri網結構，它類似於自動機的狀態轉移圖。這是重點。然後，我們在該圖上連接一個初始狀態，一組標記狀態和一個過渡標記函數，從而得到完整的Petri網模型，

4.2.1 Petri Net Notation and Definitions

在Petri網中，事件與過渡相關。爲了發生過渡，可能必須滿足幾個條件。與這些條件有關的信息包含在各個地方。其中一些地方被視爲過渡的“輸入”；它們與發生此過渡所需的條件相關。其他地方被視爲過渡的輸出；它們與受此過渡的發生影響的條件相關。過渡，位置以及它們之間的某些關係定義了Petri網圖的基本組成部分。 Petri網圖具有兩種類型的節點：位置和過渡，以及連接這些節點的弧。從弧不能直接連接相同類型的節點的意義上講，它是一個二部圖。相反，弧線將放置節點連接到過渡節點，並將過渡節點連接到放置節點。

Petri網圖的精確定義如下：

1.通常，我們用P = {p1，p2，…，pn}表示位置集，用T = {t1，t2，…，tm}表示過渡集；因此，在本章的其餘部分，| P | = n和| T | =m典型的弧的形式爲（pi，tj）或r（tj，pi），與弧有關的權重爲正整數。注意，我們可以允許P和T是可數的，而不是像自動機中的狀態集那樣的有限集。
2.首先，狀態轉換圖的節點對應於從單個集合X中選擇的狀態。在Petri網圖中，節點可以是從集合P中選擇的位置，也可以是從集合T中選擇的轉換。狀態轉換圖每個導致狀態轉換的事件都有一個弧線。允許多個弧連接兩個節點，或者等效地，我們爲每個弧分配一個權重，代表弧的數量。

注意事項：
繪製Petri網圖時，我們需要區分兩種類型的節點：位置和過渡。約定是使用圓圈表示位置，並使用條形圖表示過渡。連接位置和過渡的弧表示弧集A的元素。因此，從位置pi到過渡tj定向的弧表示pi∈I（tj）。此外，如果w（pi，tj）= k，則來自pi到tj的k條弧，或者等效地，一個弧及其權重k。類似地，如果存在從過渡點tj到位置pi的k條弧，這意味着pi∈O(tj）and w(tj，pi）= k。通常，我們將通過圖形上的多個弧線表示權重。但是，當Petri net中包含較大的權重時，將權重寫在弧上會更有效。如果在Petri網圖的圓弧上未顯示任何權重，我們將假定它爲1。
寫成此：

Example 4.1 (Simple Petri net graph)

A代表弧集。

Example 4.2

解讀：值得一提的是，過渡t4沒有輸入位置。如果我們將過渡視爲事件，並將地點視爲與事件發生相關的條件，則與t4對應的事件將無條件地發生。相反，例如，對應於轉變t2的事件取決於與地點p1和p2有關的某些條件。
原因：因爲與輸入條件有關。若沒有，則無條件的發生。

4.2.2 Petri Net Markings and State Spaces

Petri網圖中的過渡表示驅動DES的事件，而位置描述了這些事件發生的條件。
在此框架中，我們需要一種機制來指示是否實際上滿足了這些條件。通過向場所分配令牌來提供此機制。令牌是我們“放置在某個地方”的事物，本質上是表示該地方描述的條件得到滿足的事實。將令牌分配給Petri網圖的方式定義了標記。

形式上，Petri網圖（P，T，A，w）的標記x是函數x：P→N = {0,1,2，…}。 T h u s，標記x定義行向量x = [x（p1），x（p2），…，x（pn）]，其中n是Petri網中的位數。此向量的第i個條目指示在pi處的令牌（非負整數）數量，x（pi）∈N。在Petri網圖中，令牌由位於適當位置的黑點指示。

Definition. (Marked Petri net)

Example 4.3

x表示位置的令牌的數目。

Definition. (Enabled transition)

對於輸入到過渡tj的所有位置pi，當pi中的令牌數至少等於連接pi到tj的弧的權重時(也就是輸入邊數)，啓用Petri網過渡tj。
如上所述，由於位置與發生轉變的條件相關聯，因此，當滿足發生轉變的所有條件時，便可以啓用轉變。令牌是用於確定條件是否滿足的機制。在Petri網的給定狀態下啓用的過渡集與在自動機的給定狀態下設置的活動事件等效。

• 令牌數的關係：
  

4.2.3 Petri Net Dynamics

1. 在自動機中，狀態轉移機制由狀態轉移圖中連接節點（狀態）的弧直接捕獲，等效地由轉移函數f捕獲。
2. Petri網中的狀態轉換機制是通過在網絡中移動令牌並因此更改Petri網的狀態來提供的。啓用過渡後，我們說它可以觸發也可以發生。
3. Petri網的狀態轉換函數是通過觸發啓用的過渡導致Petri網的狀態變化來定義的。

Definition. (Petri net dynamics)

Example 4.4 (Firing of transitions)

a->b->c->d

Definition. (Reachable states)

State Equations

我們首先定義觸發向量u，即形式爲m維的行向量

• 在u中，其中唯一的1出現在第j個位置j∈{1，…，m}，以指示第j個過渡當前正在觸發的事實。
• a_ji是一個Petri網A的入射矩陣，一個m×n矩陣。這與更新x（pi）時出現在中的權重差匹配。
• 狀態方程描述了由於“輸入” u（即特定轉換觸發）而導致的狀態轉換過程。 （4.5）中的第i個方程正好是方程（4.2）。因此，我們看到f(x，tj）= x + uA，其中f(x，tj）是我們前面定義的轉換函數。參數tj在這個函數裏表示它是u中的第j個條目，非零。狀態方程式提供了方便的代數工具，並提供了純圖形方法的替代方法，用於描述激發躍遷和改變Petri網狀態的過程。

Example 4.5 (State equation)

• 給定初始狀態x0，可以通過以下方式生成整個狀態序列
  
• 如果達到一個狀態，不再觸發任何過渡，我們可以說在該狀態下執行Petri網死鎖