洛谷 P5504 柠檬 —— 斜率优化 | 决策dp

题目链接：点我啊╭(╯^╰)╮

题目大意：

    $n$ 个数字，每个数字为 $s[i]$
    每次选取一串数字，得到 $s_0 \times t^2$
    $s_0$ 为这一串数字的任意一个，$t$ 为这串数字有 $t$ 个 $s_0$
    求全部选取完之后的最大值

解题思路：

    $dp[i] = dp[j] + s[i] * cal(j, i)$
    明显决策点 $s[i] = s[j]$
    $cal$ 用前缀计算，设 $a[i]$ 为 $s_i$ 这个数字是相同数字里的第几个
    则 $dp[i] = dp[j] + s[i] * (a[i] - a[j] + 1) ^ 2$
    复杂度：$O(n^2)$
    但是这道题的决策是倒过来的！！！因此要在队尾操作！！！

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    斜率优化
    $dp[i] = dp[j-1] + s_i \times a_i ^ 2 - 2s_i a_i a_j + s_i a_j^2 + 2 s_i a_i - 2s_i a_j + s_i$
    发现有与 $i$ 和 $j$ 都相关的项，则提取出来，把只和 $i$ 有关的项分离出去
    $dp[i] = - 2 s_i a_i a_j + dp[j-1] + s_i a_j ^ 2 - 2 s_i a_j + ...$
    设 $j<k<i$，$dp[i][j] <= dp[i][k]$，$a_k>a_j$，得
$\frac{(dp[j-1] + s_i a_j ^ 2 - 2 s_i a_j) - (dp[k-1] + s_i a_k ^ 2 - 2 s_i a_k)}{a_j - a_k} ≥ 2 s_i a_i$
    符号为 $≥$，维护上凸包，斜率递减，由于 $2 s_i a_i$ 是递增，所以在队尾操作
    对于一个 $si$ 而言，$2 s_i a_i$ 是单调的，因此不需要二分
    时间复杂度： $O(n)$

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    决策单调
    发现平方的增长是很快的
    若 $i$ 的决策点有 $j_1$ 和 $j_2$，$j_1 < j_2$，$a[j_1] < a[j_2]$，$dp[i](j_1) > dp[i](j_2)$
    那么随着 $i$ 的增大，$dp[i](j_1)$ 增长的肯定要比 $dp[i](j_2)$ 快
    因此 $j_2$ 可以直接删掉，满足决策单调
    注意这里的决策单调是倒序单调的
    时间复杂度： $O(nlogn)$

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斜率优化：

#include<bits/stdc++.h>
#define rint register int
#define deb(x) cerr<<#x<<" = "<<(x)<<'\n';
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair <int,int> pii;
const int maxn = 1e5 + 5;
int n;
ll s[maxn], a[maxn];
ll num[maxn], dp[maxn];
vector <int> q[maxn];

ll Y(int i){
	return dp[i-1] + s[i] * a[i] * a[i] - 2 * s[i] * a[i];
}
ll X(int i){
	return a[i];
}

double slope(int i, int j){
	return 1.0 * (Y(i) - Y(j)) / (X(i) - X(j));
}

#define sz q[s[i]].size()
#define t1 q[t][sz-1]
#define t2 q[t][sz-2]

ll cal(int i, int j){
	return dp[j-1] + s[i] * (a[i] - a[j] + 1) * (a[i] - a[j] + 1);
}

signed main() {
	scanf("%d", &n);
	for(int i=1; i<=n; i++) {
		scanf("%lld", s+i);
		a[i] = ++num[s[i]];
	}
	for(int i=1; i<=n; i++){
		int t = s[i];
		while(sz>1 && slope(t1, i)>=slope(t2, t1)) q[t].pop_back();
		q[t].push_back(i);
		while(sz>1 && slope(t2, t1)<2*s[i]*a[i]) q[t].pop_back();
//		while(sz>1 && cal(i, t1)<=cal(i, t2)) q[t].pop_back();
		dp[i] = cal(i, t1);
	}
	printf("%lld\n", dp[n]);
}

---

决策单调：

#include<bits/stdc++.h>
#define rint register int
#define deb(x) cerr<<#x<<" = "<<(x)<<'\n';
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair <int,int> pii;
const int maxn = 1e5 + 5;
int n;
ll a[maxn], s[maxn];
ll dp[maxn], num[maxn];
vector <int> q[maxn];

#define sz q[t].size()
#define t1 q[t][sz-1]
#define t2 q[t][sz-2]

ll cal(int i, int j){
	return dp[i-1] + 1ll * j * j * s[i];
}

int ck(int i, int j){
	int l = max(a[i], a[j]), r = n, mid;
	while(l <= r){
		mid = l + r >> 1;
		if(cal(i, mid-a[i]+1)>=cal(j, mid-a[j]+1)) r = mid - 1;
		else l = mid + 1;
	}
	return l;
}

signed main() {
	scanf("%d", &n);
	for(int i=1; i<=n; i++){
		scanf("%lld", s+i);
		a[i] = ++num[s[i]];
	}
	for(int i=1; i<=n; i++){
		int t = s[i];
		while(sz>1 && ck(t2, t1)<=ck(t1, i)) q[t].pop_back();
		q[t].push_back(i);
		while(sz>1 && ck(t2, t1)<=a[i]) q[t].pop_back();
		dp[i] = cal(t1, a[i] - a[t1] + 1);
	}
	printf("%lld\n", dp[n]);
}