【算法题】股票买卖问题解法详解

本解法是股票问题的通用解法，在leetcode上对应以下题：

买卖股票的最佳时机
买卖股票的最佳时机 II
买卖股票的最佳时机 III
买卖股票的最佳时机 IV
买卖股票的最佳时机含手续费
最佳买卖股票时机含冷冻期

下面来说通用解法：
        这类问题有一个状态转移图：

其中：0表示未持有股票，1表示持有股票。则对应于每一天，有持有和未持有两种情况。
如果某一天持有股票，则可能是前一天就已持有股票或前一天未持有股票，当天买入了股票；如果某一天未持有股票，则可能是前一天就未持有股票或前一天持有股票，当天卖出了股票。
那么很容易得到如下递推式：

dp[i][k][0] = max(dp[i-1][k][0], dp[i-1][k][1] + prices[i])
//            max(   选择 rest  ,           选择 sell      )
dp[i][k][1] = max(dp[i-1][k][1], dp[i-1][k-1][0] - prices[i])
//            max(   选择 rest  ,           选择 buy         )

解释一下：三维dp数组i表示第i天，k表示第k手，0表示当天未持有股票，1表示当天持有股票。
利用以上解法就能轻松解出股票买卖问题了，以下分别说明：

1. k=1
   对应只能买卖一次的情况

dp[i][1][0] = max(dp[i-1][1][0], dp[i-1][1][1] + prices[i])
dp[i][1][1] = max(dp[i-1][1][1], dp[i-1][0][0] - prices[i]) 
            = max(dp[i-1][1][1], -prices[i])

// 由于k均为1，可以简化为：
dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] + prices[i])
dp[i][1] = max(dp[i-1][1], -prices[i])

2. k无限制
   对应无限次买卖的情况

dp[i][k][0] = max(dp[i-1][k][0], dp[i-1][k][1] + prices[i])
dp[i][k][1] = max(dp[i-1][k][1], dp[i-1][k-1][0] - prices[i])
            = max(dp[i-1][k][1], dp[i-1][k][0] - prices[i])

// 这里k仍然没有意义，简化为：
dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] + prices[i])
dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-1][0] - prices[i])

3. k无限制，有冷却时间

// 这里k仍简化：
dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] + prices[i])
dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-2][0] - prices[i])

4. k无限制，有手续费

dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] + prices[i])
dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-1][0] - prices[i] - fee)

5. k不为1或不限制的情况
   这时k不能简化，因此转移方程如下：

dp[i][k][0] = max(dp[i-1][k][0], dp[i-1][k][1] + prices[i])
dp[i][k][1] = max(dp[i-1][k][1], dp[i-1][k-1][0] - prices[i])

以k为指定值为例（没有任何简化的情况），写出解答代码：

class Solution {
    public int maxProfit(int k, int[] prices) {
        int[][][] dp = new int[prices.length+1][k+1][2];
        for(int i=0;i<=k;i++){
            dp[0][i][0]=0;
            dp[0][i][1]=Integer.MIN_VALUE;    // 表示不可能
        }
        for(int i=1;i<=prices.length;i++){
            for(int j=1;j<=k;j++){      // 0次交易 值为0  无需处理
                dp[i][j][0]=Math.max(dp[i-1][j][0], dp[i-1][j][1]+prices[i-1]);
                dp[i][j][1]=Math.max(dp[i-1][j][1], dp[i-1][j-1][0]-prices[i-1]);
            }
        }
        return dp[prices.length][k][0];
    }

}