一、什么是二分查找？
二分查找针对的是一个有序的数据集合，每次通过跟区间中间的元素对比，将待查找的区间缩小为之前的一半，直到找到要查找的元素，或者区间缩小为0。
二、时间复杂度分析？
1.时间复杂度
假设数据大小是n，每次查找后数据都会缩小为原来的一半，最坏的情况下，直到查找区间被缩小为空，才停止。所以，每次查找的数据大小是：n，n/2，n/4，…，n/(2^k)，…，这是一个等比数列。当n/(2^k)=1时，k的值就是总共缩小的次数，也是查找的总次数。而每次缩小操作只涉及两个数据的大小比较，所以，经过k次区间缩小操作，时间复杂度就是O(k)。通过n/(2^k)=1，可求得k=log2n，所以时间复杂度是O(logn)。
2.认识O(logn)
①这是一种极其高效的时间复杂度，有时甚至比O(1)的算法还要高效。为什么？
②因为logn是一个非常“恐怖“的数量级，即便n非常大，对应的logn也很小。比如n等于2的32次方，也就是42亿，而logn才32。
③由此可见，O(logn)有时就是比O(1000)，O(10000)快很多。
三、如何实现二分查找？
1.循环实现
代码实现：
public int bsearch(int[] a, int n, int value) {
int low = 0;
int high = n - 1;
while (low <= high) {
int mid = (low + high) / 2;
if (a[mid] == value) {
return mid;
} else if (a[mid] < value) {
low = mid + 1;
} else {
high = mid - 1;
}
}
return -1;
}
注意事项：
①循环退出条件是：start<=end，而不是start<end。
②mid的取值，使用mid=start + (end - start) / 2，而不用mid=(start + end)/2，因为如果start和end比较大的话，求和可能会发生int类型的值超出最大范围。为了把性能优化到极致，可以将除以2转换成位运算，即start + ((end - start) >> 1)，因为相比除法运算来说，计算机处理位运算要快得多。
③start和end的更新：start = mid - 1，end = mid + 1，若直接写成start = mid，end=mid，就可能会发生死循环。
2.递归实现
// 二分查找的递归实现
public int bsearch(int[] a, int n, int val) {
return bsearchInternally(a, 0, n - 1, val);
}
private int bsearchInternally(int[] a, int low, int high, int value) {
if (low > high) return -1;
int mid = low + ((high - low) >> 1);
if (a[mid] == value) {
return mid;
} else if (a[mid] < value) {
return bsearchInternally(a, mid+1, high, value);
} else {
return bsearchInternally(a, low, mid-1, value);
}
}
四、使用条件（应用场景的局限性）
1.二分查找依赖的是顺序表结构，即数组。
2.二分查找针对的是有序数据，因此只能用在插入、删除操作不频繁，一次排序多次查找的场景中。
3.数据量太小不适合二分查找，与直接遍历相比效率提升不明显。但有一个例外，就是数据之间的比较操作非常费时，比如数组中存储的都是长度超过300的字符串，那这是还是尽量减少比较操作使用二分查找吧。
4.数据量太大也不是适合用二分查找，因为数组需要连续的空间，若数据量太大，往往找不到存储如此大规模数据的连续内存空间。
五、课后思考
1.如何在1000万个整数中快速查找某个整数？
①1000万个整数占用存储空间为40MB，占用空间不大，所以可以全部加载到内存中进行处理；
②用一个1000万个元素的数组存储，然后使用快排进行升序排序，时间复杂度为O(nlogn)
③在有序数组中使用二分查找算法进行查找，时间复杂度为O(logn)
2.如何编程实现“求一个数的平方根”？要求精确到小数点后6位？
/**
* 使用二分查找实现平方根函数，要求精确到小数点后6位
*/
public float sqrt_search(float n){
float mid = 0.0f;
if(n < -1e-6){
// 小于0，抛异常
throw new IllegalArgumentException();
}else if(Math.abs(n) >= -1e-6 && Math.abs(n) <= 1e-6){
return mid;
}else{
// 逐次逼近，默认平方根的不会超过n的一半
float high = n / 2.0f;
float low = 0.0f;
while(Math.abs(high - low) > 1e-6){
// 首先找到中间值
mid = low + (high - low) / 2;
float tmp = mid * mid;
// 比较并更新 high和low
if((tmp - n) > 1e-6){
high = mid;
}else if((tmp -n) < -1e-6){
low = mid;
}else{
return mid;
}
}
}
return mid;
}