計算機組成原理：定點數和浮點數、校驗碼

1、定點數和浮點數

小數點在計算器中並沒有專門的器件進行存放。根據小數點的位置是否固定，可將數字分爲定點數和浮點數。

定點數

定點數是小數點位置固定的數，小數點的位置由事先約定。同一種定點數的機器碼中，每一位的權值都是相同的。
約定小數點在最低數值位之後的定點數稱爲定點純整數；在最高數值位之前的稱爲定點純小數。採用定點數的機器稱爲定點機。
設8位機器碼，其中最高位爲符號位。
對於定點整數機：
原碼和反碼的數值範圍：-2⁷ + 1 ~ 2⁷ - 1
補碼的數值範圍：-2⁷ ~ 2⁷ - 1
對於定點小數機：
原碼和反碼的數值範圍：-1 + 2^-7 ~ 1 - 2^-7
補碼的數值範圍：-1 ~ 1 - 2^-7

當數值超出定點數所能表示的範圍時，稱爲溢出。

浮點數

浮點數是小數點位置不固定的數。
浮點數在計算機中由兩個部分組成：階碼和尾數。

其中，尾數表示數值的有效數字，階碼指出小數點的位置。
對於階碼共k + 1位，尾數共n + 1位的浮點數(均包含符號)：
最大正數：(1 - 2^-n) * 2^{2^k-1}
最小負數：-1* 2^{2^k-1}
絕對值最小的數(除0外)：± 2^-n * 2^{-2^k}

階碼和尾數均以補碼錶示。

規格化浮點數

由於一個數值可以有多個不同的浮點數加以表示，爲了規範數值的表示，應當以一定的條件加以約束，稱爲規格化浮點數。
規格化浮點數的約束條件：對於尾數M，應有0.5 ≤ |M| ≤ 1。
對於原碼，其最高數值位一定爲1。
對於補碼，其符號位與最高數值爲互異。

IEEE-754標準

IEEE-754標準定義了三種浮點數的基本格式：單精度格式、雙精度格式、擴展精度格式。

對於單精度和雙精度格式，IEEE-754標準規定小數點左邊隱含一位，作爲整數的個位數。該位規定爲1，不需要存儲，自動計算。由於隱含位在個位上，相比於規格化浮點數的標準左移了一位，因此階碼需要-1以匹配。

單精度格式：階碼位數爲8，尾數數值位數爲23，總32位
雙精度格式：階碼位數爲11，尾數數值位數爲52，總64位
擴展精度格式：階碼位數爲15，尾數數值位數爲64，總80位

由於隱含位，單精度和雙精度格式的尾數實際尾數分別爲24和53。

對於單精度格式，階碼的取值範圍是-126 ~ 127。

這個地方也是我不太明白的一點。經過查找資料後個人的理解是：階碼全0和全1是特殊情況；全0對應的補碼是10000001，爲-127，全1對應的補碼是10000000，爲-128。因此這兩個取值應該排除。從偏置常數看，-127和-128偏置後爲0和-1，無法用8位機器碼錶示。

IEEE-754標準的浮點數公式： V = (-1)^ms * 2^{2^E-127} * M
十進制轉單精度步驟：1) 轉二進制 2) 規格化 3) 求階碼 4) 拼接 5)*四合一轉十六進制
單精度轉十進制步驟： 1)* 一拆四轉二進制 2)分段 3)求階碼的原碼 4)計算真值

2、校驗碼

在數據的存取傳送過程中，由於外界高頻的干擾、設備的間歇性故障、電源偶然的瞬變現象等原因，會發生錯誤。爲了減少這種錯誤，除了提高硬件本身的可靠性外，通常是通過增加一些冗餘碼，使合法數據編碼出現某些錯誤，稱爲非法碼，來檢測錯誤。碼距是任意兩個編碼間互異的位數。碼距爲2的的校驗碼才具有糾錯能力。

奇偶校驗碼

有效信息加上一位校驗碼，可以形成奇偶校驗碼。這是最簡單的一種校驗碼。
奇校驗：加上校驗位後，校驗碼爲1的位數是奇數。 ~C = x1 ⊕ x2 ⊕ … ⊕ xn (奇數個1和任意個0異或得1；偶數個1得0）
偶校驗：加上校驗位後，校驗碼爲1的位數是偶數。 C = x1 ⊕ x2 ⊕ … ⊕ xn
奇偶校驗碼能檢查一位出錯，但不能判斷出錯的位置。

海明校驗碼

海明校驗碼是一種能夠定位一位出錯，並能發現兩位出錯的校驗碼，且能恢復一位出錯位的校驗碼。
設有效碼共k位，校驗位共r位，若需要定位一位錯誤，則有海明不等式1：2^r ≥ k + r + 1；（k+r位可能出錯，加上正確情況）
若還需要檢查兩位錯誤，則有海明不等式2: 2^r-1 ≥ k + r。 （需要其它情況表示2位出錯）

海明校驗碼碼編碼規則：

1. 設海明校驗碼最高位爲m，最低位爲1，則海明校驗碼可以表示爲：H(m)H(m-1)…H(1)；
   其中,H(2^i-1)由校驗位R(i)佔據，剩餘位置由有效碼K(i)由小到大佔據；若不存在H(2^i-1)，則R(i)佔據最高位。
   例如十三位海明校驗碼(其中5位校驗位，8位有效碼)： R(5)K(8)K(7)K(6)K(5)R(4)K(4)K(3)K(2)R(3)K(1)R(2)R(1)
2. 每一個海明校驗碼的位號，等於檢驗他的校驗位位號之和。例如H(3)：3 = 2 + 1；因此H(3)由H(2)和H(1)校驗。相當於每一個校驗位，都是被其校驗的有效碼的奇偶校驗位。

有效位的位號必須等於校驗位位號和；校驗位位號之和就等於本身。

3. 以偶校驗爲例，可以得到方程組：
   P1 = D1 ⊕ D2 ⊕ D4 ⊕ D5 ⊕ D7
   P2 = D1 ⊕ D3 ⊕ D4 ⊕ D6 ⊕ D7
   P3 = D2 ⊕ D3 ⊕ D4 ⊕ D8
   P4 = D5 ⊕ D6 ⊕ D7 ⊕ D8
   P5 = D1 ⊕ D2 ⊕ D3 ⊕ D4 ⊕ D5 ⊕ D6 ⊕ D7 ⊕ D8 ⊕ P1 ⊕ P2 ⊕ P3 ⊕ P4 （令最高位等於所有其它海明碼異或)
   利用該方程組，可以形成海明校驗碼。

檢錯時，令校驗位與需要檢驗的校驗碼做異或運算，可以得到方程組：
S1 = P1 ⊕ D1 ⊕ D2 ⊕ D4 ⊕ D5 ⊕ D7
S2 = P2 ⊕ D1 ⊕ D3 ⊕ D4 ⊕ D6 ⊕ D7
S3 = P3 ⊕ D2 ⊕ D3 ⊕ D4 ⊕ D8
S4 = P4 ⊕ D5 ⊕ D6 ⊕ D7 ⊕ D8
S5 = P5 ⊕ D1 ⊕ D2 ⊕ D3 ⊕ D4 ⊕ D5 ⊕ D6 ⊕ D7 ⊕ D8 ⊕ P1 ⊕ P2 ⊕ P3 ⊕ P4
顯然，如果該位沒有出錯，則相當於自身與自身做異或運算，結果必然爲0；
反之，若某一個校驗結果爲1，說明該位所校驗的數據出錯。
若僅考慮一位出錯和兩位出錯，有如下幾種情況：
1、S1~S5全爲0：數據無錯誤；
2、S5 = 0；S1~S4不全爲0：有兩位出錯；
3、S5 = 1；S1~S4全爲0：P5出錯；
4、S5 = 1；S1~S4僅一位爲1：對應的那一位校驗位出錯；如S1 = 1，說明P1出錯；
5、S5 = 1；S1~S4多位爲1：可通過出錯的S的共同檢驗元素，定位出錯的位置；如S1,S2 = 1，說明D1出錯。

循環冗餘碼（CRC碼）

CRC碼可以發現並糾正信息存儲或傳送過程中連續出現的多位錯誤，因此在磁介質存儲和計算機之間通信方面得到廣泛應用。
CRC碼由k位信息碼後接r位校驗位組成，利用模2運算規律。

CRC碼編碼規則：

1. 將信息碼錶達爲多項式M(x) = Ck-1 * x^k-1 + … + C1 * x¹ + C0；
2. 將信息碼左移r位，得到M(x) * x^r = Ck-1 * x^k+r-1+ … + C0 * x^r；
3. 用M(x) * x^r 除以用以生成多項式 G(x)，所得餘數作爲校驗位。爲使校驗碼爲r位，由模2運算的規律可知，G(x)必爲 r + 1位。
4. 設上一步的運算中所得商爲Q(x)，所得餘數爲R(x)，將R(x)拼接至M(x) * x^r 右邊空出的r位上，構成該信息的CRC碼。
   該CRC碼 M(x) * x^r + R(x) = [Q(x) * G(x) + R(x)] + R(x) = Q(x) * G(x) + 2R(x)；
   由模2加法，2R(x)應爲0；因此上式 = Q(x) * G (x)，也即該CRC碼必能被G(x)除盡。

檢錯時，用得到的CRC碼除以生成多項式G(x)，如果未出錯，應得到餘數0；不同位出錯時，餘數不同。可以證明，在碼制和生成多項式不變時，餘數與出錯位的關係是不變的。