计算机组成原理：定点数和浮点数、校验码

1、定点数和浮点数

小数点在计算器中并没有专门的器件进行存放。根据小数点的位置是否固定，可将数字分为定点数和浮点数。

定点数

定点数是小数点位置固定的数，小数点的位置由事先约定。同一种定点数的机器码中，每一位的权值都是相同的。
约定小数点在最低数值位之后的定点数称为定点纯整数；在最高数值位之前的称为定点纯小数。采用定点数的机器称为定点机。
设8位机器码，其中最高位为符号位。
对于定点整数机：
原码和反码的数值范围：-2⁷ + 1 ~ 2⁷ - 1
补码的数值范围：-2⁷ ~ 2⁷ - 1
对于定点小数机：
原码和反码的数值范围：-1 + 2^-7 ~ 1 - 2^-7
补码的数值范围：-1 ~ 1 - 2^-7

当数值超出定点数所能表示的范围时，称为溢出。

浮点数

浮点数是小数点位置不固定的数。
浮点数在计算机中由两个部分组成：阶码和尾数。

其中，尾数表示数值的有效数字，阶码指出小数点的位置。
对于阶码共k + 1位，尾数共n + 1位的浮点数(均包含符号)：
最大正数：(1 - 2^-n) * 2^{2^k-1}
最小负数：-1* 2^{2^k-1}
绝对值最小的数(除0外)：± 2^-n * 2^{-2^k}

阶码和尾数均以补码表示。

规格化浮点数

由于一个数值可以有多个不同的浮点数加以表示，为了规范数值的表示，应当以一定的条件加以约束，称为规格化浮点数。
规格化浮点数的约束条件：对于尾数M，应有0.5 ≤ |M| ≤ 1。
对于原码，其最高数值位一定为1。
对于补码，其符号位与最高数值为互异。

IEEE-754标准

IEEE-754标准定义了三种浮点数的基本格式：单精度格式、双精度格式、扩展精度格式。

对於单精度和双精度格式，IEEE-754标准规定小数点左边隐含一位，作为整数的个位数。该位规定为1，不需要存储，自动计算。由于隐含位在个位上，相比于规格化浮点数的标准左移了一位，因此阶码需要-1以匹配。

单精度格式：阶码位数为8，尾数数值位数为23，总32位
双精度格式：阶码位数为11，尾数数值位数为52，总64位
扩展精度格式：阶码位数为15，尾数数值位数为64，总80位

由于隐含位，单精度和双精度格式的尾数实际尾数分别为24和53。

对於单精度格式，阶码的取值范围是-126 ~ 127。

这个地方也是我不太明白的一点。经过查找资料后个人的理解是：阶码全0和全1是特殊情况；全0对应的补码是10000001，为-127，全1对应的补码是10000000，为-128。因此这两个取值应该排除。从偏置常数看，-127和-128偏置后为0和-1，无法用8位机器码表示。

IEEE-754标准的浮点数公式： V = (-1)^ms * 2^{2^E-127} * M
十进制转单精度步骤：1) 转二进制 2) 规格化 3) 求阶码 4) 拼接 5)*四合一转十六进制
单精度转十进制步骤： 1)* 一拆四转二进制 2)分段 3)求阶码的原码 4)计算真值

2、校验码

在数据的存取传送过程中，由于外界高频的干扰、设备的间歇性故障、电源偶然的瞬变现象等原因，会发生错误。为了减少这种错误，除了提高硬件本身的可靠性外，通常是通过增加一些冗余码，使合法数据编码出现某些错误，称为非法码，来检测错误。码距是任意两个编码间互异的位数。码距为2的的校验码才具有纠错能力。

奇偶校验码

有效信息加上一位校验码，可以形成奇偶校验码。这是最简单的一种校验码。
奇校验：加上校验位后，校验码为1的位数是奇数。 ~C = x1 ⊕ x2 ⊕ … ⊕ xn (奇数个1和任意个0异或得1；偶数个1得0）
偶校验：加上校验位后，校验码为1的位数是偶数。 C = x1 ⊕ x2 ⊕ … ⊕ xn
奇偶校验码能检查一位出错，但不能判断出错的位置。

海明校验码

海明校验码是一种能够定位一位出错，并能发现两位出错的校验码，且能恢复一位出错位的校验码。
设有效码共k位，校验位共r位，若需要定位一位错误，则有海明不等式1：2^r ≥ k + r + 1；（k+r位可能出错，加上正确情况）
若还需要检查两位错误，则有海明不等式2: 2^r-1 ≥ k + r。 （需要其它情况表示2位出错）

海明校验码码编码规则：

1. 设海明校验码最高位为m，最低位为1，则海明校验码可以表示为：H(m)H(m-1)…H(1)；
   其中,H(2^i-1)由校验位R(i)占据，剩余位置由有效码K(i)由小到大占据；若不存在H(2^i-1)，则R(i)占据最高位。
   例如十三位海明校验码(其中5位校验位，8位有效码)： R(5)K(8)K(7)K(6)K(5)R(4)K(4)K(3)K(2)R(3)K(1)R(2)R(1)
2. 每一个海明校验码的位号，等于检验他的校验位位号之和。例如H(3)：3 = 2 + 1；因此H(3)由H(2)和H(1)校验。相当于每一个校验位，都是被其校验的有效码的奇偶校验位。

有效位的位号必须等于校验位位号和；校验位位号之和就等于本身。

3. 以偶校验为例，可以得到方程组：
   P1 = D1 ⊕ D2 ⊕ D4 ⊕ D5 ⊕ D7
   P2 = D1 ⊕ D3 ⊕ D4 ⊕ D6 ⊕ D7
   P3 = D2 ⊕ D3 ⊕ D4 ⊕ D8
   P4 = D5 ⊕ D6 ⊕ D7 ⊕ D8
   P5 = D1 ⊕ D2 ⊕ D3 ⊕ D4 ⊕ D5 ⊕ D6 ⊕ D7 ⊕ D8 ⊕ P1 ⊕ P2 ⊕ P3 ⊕ P4 （令最高位等于所有其它海明码异或)
   利用该方程组，可以形成海明校验码。

检错时，令校验位与需要检验的校验码做异或运算，可以得到方程组：
S1 = P1 ⊕ D1 ⊕ D2 ⊕ D4 ⊕ D5 ⊕ D7
S2 = P2 ⊕ D1 ⊕ D3 ⊕ D4 ⊕ D6 ⊕ D7
S3 = P3 ⊕ D2 ⊕ D3 ⊕ D4 ⊕ D8
S4 = P4 ⊕ D5 ⊕ D6 ⊕ D7 ⊕ D8
S5 = P5 ⊕ D1 ⊕ D2 ⊕ D3 ⊕ D4 ⊕ D5 ⊕ D6 ⊕ D7 ⊕ D8 ⊕ P1 ⊕ P2 ⊕ P3 ⊕ P4
显然，如果该位没有出错，则相当于自身与自身做异或运算，结果必然为0；
反之，若某一个校验结果为1，说明该位所校验的数据出错。
若仅考虑一位出错和两位出错，有如下几种情况：
1、S1~S5全为0：数据无错误；
2、S5 = 0；S1~S4不全为0：有两位出错；
3、S5 = 1；S1~S4全为0：P5出错；
4、S5 = 1；S1~S4仅一位为1：对应的那一位校验位出错；如S1 = 1，说明P1出错；
5、S5 = 1；S1~S4多位为1：可通过出错的S的共同检验元素，定位出错的位置；如S1,S2 = 1，说明D1出错。

循环冗余码（CRC码）

CRC码可以发现并纠正信息存储或传送过程中连续出现的多位错误，因此在磁介质存储和计算机之间通信方面得到广泛应用。
CRC码由k位信息码后接r位校验位组成，利用模2运算规律。

CRC码编码规则：

1. 将信息码表达为多项式M(x) = Ck-1 * x^k-1 + … + C1 * x¹ + C0；
2. 将信息码左移r位，得到M(x) * x^r = Ck-1 * x^k+r-1+ … + C0 * x^r；
3. 用M(x) * x^r 除以用以生成多项式 G(x)，所得余数作为校验位。为使校验码为r位，由模2运算的规律可知，G(x)必为 r + 1位。
4. 设上一步的运算中所得商为Q(x)，所得余数为R(x)，将R(x)拼接至M(x) * x^r 右边空出的r位上，构成该信息的CRC码。
   该CRC码 M(x) * x^r + R(x) = [Q(x) * G(x) + R(x)] + R(x) = Q(x) * G(x) + 2R(x)；
   由模2加法，2R(x)应为0；因此上式 = Q(x) * G (x)，也即该CRC码必能被G(x)除尽。

检错时，用得到的CRC码除以生成多项式G(x)，如果未出错，应得到余数0；不同位出错时，余数不同。可以证明，在码制和生成多项式不变时，余数与出错位的关系是不变的。