自相關係數的一些問題

一、自協方差和自相關係數

p階自迴歸AR(p)

自協方差 r(t,s)=E[X(t)-EX(t)][X(s)-EX(s)]

自相關係數ACF=r(s,t)/[(DX(t).DX(s))^0.5]

二、平穩時間序列自協方差與自相關係數

1、平穩時間序列可以定義r(k)爲時間序列的延遲k自協方差函數：

r(k)=r(t,t+k)=E[X(t)-EX(t)][X(t+k)-EX(t+k)]

2、平穩時間序列的方差相等DX(t)=DX(t+k)=σ2，

所以DX(t)*DX(t+k)=σ2*σ2，

所以[DX(t)*DX(t+k)]^0.5=σ2

而r(0)=r(t,t)=E[X(t)-EX(t)][X(t)-EX(t)]=E[X(t)-EX(t)]^2=DX(t)=σ2

簡而言之，r(0)就是自己與自己的協方差，就是方差，

所以，平穩時間序列延遲k的自相關係數ACF等於：

p(k)=r(t,t+k)/[(DX(t).DX(t+k))^0.5]=r(k)/σ2=r(k)/r(0)

3、平穩AR(p)的自相關係數具有兩個顯著特徵：一是拖尾性；二是呈負指數衰減。