前兩天做一套筆試題，碰到了關於負數取模的題目，又出錯了，一直沒弄清，今天去上網查了資料，看了一篇文章總結得不錯，特此轉載記錄下。
System.out.println(7 % -3); // 1
System.out.println(-7 % 3); //-1
正整數的取餘運算大家都很熟悉，但是對於負數、實數的取餘運算，確實給人很新鮮的感覺。於是我對此進行了一些探索。我發現，這裏面還是頗有一點可以探索的東西的。
自然數的取模運算的定義是這樣的（定義1）：
如果a和d是兩個自然數，d非零，可以證明存在兩個唯一的整數 q和 r，滿足 a = qd + r 且0 ≤ r < d。其中，q被稱爲商，r 被稱爲餘數。
那麼對於負數，是否可以沿用這樣的定義呢？我們發現，假如我們按照正數求餘的規則求 (-7) mod 3 的結果，就可以表示 -7 爲 (-3)* 3 +2。其中，2是餘數，-3是商。
那麼，各種編程語言和計算器是否是按照這樣理解的呢？下面是幾種軟件中對此的理解。
C++（G++ 編譯）： cout << (-7) % 3; // 輸出 -1
Java（1.6）： System.out.println((-7) % 3); // 輸出 -1
Python 2.6：>>> (-7) % 3 // 輸出 2
百度計算器：(-7) mod 3 = 2
Google 計算器：(-7) mod 3 =2
可以看到，結果特別有意思。這個問題是百家爭鳴的。看來我們不能直接把正數的法則加在負數上。實際上，在整數範圍內，自然數的求餘法則並不被很多人所接受，大家大多認可的是下面的這個定義2。如果a 與d 是整數，d 非零，那麼餘數r 滿足這樣的關係：
a = qd + r , q 爲整數，且0 ≤ |r| < |d|。
可以看到，這個定義導致了有負數的求餘並不是我們想象的那麼簡單，比如，-1 和 2 都是 (-7) mod 3 正確的結果，因爲這兩個數都符合定義。這種情況下，對於取模運算，可能有兩個數都可以符合要求。我們把 -1 和 2 分別叫做正餘數和負餘數。通常，當除以d 時，如果正餘數爲r1，負餘數爲r2，那麼有
r1 = r2 + d
對負數餘數不明確的定義可能導致嚴重的計算問題，對於處理關鍵任務的系統，錯誤的選擇會導致嚴重的後果。
看完了 (-7) mod 3，下面我們來看一看 7 mod (-3) 的情況（看清楚，前面是 7 帶負號，現在是 3 帶負號）。根據定義2，7 = (-3) * (-2) + 1 或7 = (-3) * (-3) -2，所以餘數爲 1 或 -2。
C++（G++ 編譯）： cout << 7 % (-3); // 輸出 1
Java（1.6）： System.out.println(7 % (-3)); // 輸出 1
Python 2.6：>>> 輸出 -2
百度計算器：7 mod (-3) = -2
Google 計算器：7 mod (-3) = -2
有道計算器：不支持從中我們看到幾個很有意思的現象：
- Java 緊隨 C++ 的步伐，而 Python、Google、百度步調一致。難道真是物以類聚？聯想一下，Google 一直支持 Python，Python 也頗有 Web 特色的感覺，而且 Google Application Engine 也用的 Python，國內的搜索引擎也不約而同地按照 Google 的定義進行運算。
- 可以推斷，C++ 和 Java 通常會儘量讓商更大一些。比如在 (-7) mod 3中，他們以 -2 爲商，餘數爲 -1。在 Python 和 Google 計算器中，儘量讓商更小，所以以 -3 爲商。在 7 mod (-3) 中效果相同：C++ 選擇了 3 作爲商，Python 選擇了 2 作爲商。但是在正整數運算中，所有語言和計算器都遵循了儘量讓商小的原則，因此 7 mod 3 結果爲 1 不存在爭議，不會有人說它的餘數是-2。
- 如果按照第二點的推斷，我們測試一下 (-7) mod (-3)，結果應該是前一組語言（C++，Java）返回 2，後一組返回 -1。（請注意這只是假設）
於是我做了實際測試：
C++（G++ 編譯）： cout << (-7) % (-3); // 輸出 -1
Java（1.6）： System.out.println((-7) % (-3)); // 輸出 -1
Python 2.6：>>> 輸出 -1
百度計算器：-7 mod (-3) = -1
Google 計算器： -7 mod (-3) = -1
結果讓人大跌眼鏡，所有語言和計算機返回結果完全一致。
總結時間到我們由此可以總結出下面兩個結論：
- 對於任何同號的兩個整數，其取餘結果沒有爭議，所有語言的運算原則都是使商儘可能小。
- 對於異號的兩個整數，C++/Java語言的原則是使商儘可能大，很多新型語言和網頁計算器的原則是使商儘可能小。
最後是拓展時間。對於實數，我們也可以定義取模運算（定義3）。當a 和 d 是實數，且d 非零, a 除以 d 會得到另一個實數（商），沒有所謂的剩餘的數。但如果要求商爲一個整數，則餘數的概念還是有必要的。可以證明：存在唯一的整數商 q 和唯一的實數 r 使得: a = qd + r, 0 ≤ r < |d|.