codeforces #628 div2 F題（DFS樹/找環/獨立集）

題目鏈接

題目大意

       輸入一個由$n$個頂點和$m$條邊組成的無向圖，找一個長度$\ge \sqrt n$的環或者是頂點數爲$\sqrt n$的獨立集（獨立集中任意兩個點沒有直接邊）。

分析過程

       此題用$DFS$樹求解，所謂$DFS$樹就是將圖進行$DFS$遍歷之後導出的樹，如下圖所示。（粗線爲樹邊，淺線爲非樹邊）
       $DFS$樹有一個重要的性質，不在同一顆子樹上的兩點之間沒有邊（非樹邊只有可能是在同一條樹鏈上），這個用反證法的思路和$DFS$的性質能夠容易看出。
       $DFS$樹找出的環不一定是最大環也不一定是最小環。比如下面這組數據。（找最小環需要用$Floyd$）

• 這組數據的最大環是124563最外面這個環，$DFS$樹中找不到這個環。
• 回到這道題目上面來，在$DFS$樹上遇到環時判斷對應非樹邊的兩個端點差$dep[u]-dep[v]+1>=d$是否成立，如果成立則直接輸出這個環。（$dfs$的過程中開堆棧存一下同條樹鏈上已經訪問的歷史節點）
• 否則，$DFS$樹同一條樹鏈上的高度差爲$d-1$的頂點之間必然沒有環，因此可以用$\mod (d-1)$的方式劃分等價類，所有同餘的頂點兩兩之間必然沒有邊，即可以組成獨立集。由鴿巢原理，一共有$n$個頂點，劃分成$d-1$個等價類，必然至少有一個等價類中的元素個數$\ge$d。

這道題也是DFS樹留個坑。

AC代碼

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 2e5 + 100;
typedef long long ll;
int n, m, d, flag, dep[maxn];
vector<int> G[maxn];
stack<int> s;
void dfs(int cur, int par){
	dep[cur] = dep[par] + 1;
	s.push(cur);
	for(auto temp:G[cur]){
		if(temp == par) continue;
		if(!dep[temp]){
			dfs(temp, cur);
			if(flag) return;
			s.pop();
		}else{
			if(dep[cur] - dep[temp] >= d - 1){ //找到符合條件的環 
				cout<<2<<'\n';
				flag = 1;
				cout<<dep[cur] - dep[temp] + 1<<'\n'<<s.top();
				s.pop();
				while(!s.empty()){
					cout<<' '<<s.top();
					if(s.top() == temp) return;
					s.pop();
				}		
			}
		}
	}
}
void solve(){
	int cnt[maxn];
	memset(cnt, 0, sizeof(cnt));
	d = sqrt(n + 0.5);
	if(n > d * d) ++d;
	dfs(1, 0);
	if(!flag){ //存在獨立集
		cout<<1<<'\n';
		int maxi = 0, p, c = 0; 
		for(int i=1;i<=n;++i){
			cnt[dep[i]%(d-1)]++;
			if(cnt[dep[i]%(d-1)] > maxi){
				maxi = cnt[dep[i]%(d-1)];
				p = dep[i]%(d-1);
			}
		}
		for(int i=1;i<=n;++i){
			if(dep[i] % (d - 1) == p){
				if(c) cout<<' ';
				cout<<i;
				++c;
				if(c >= d) break;
			}
		}
	}
}
int main(){
	int t, i, j, u, v;
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin>>n>>m;
	for(i=1;i<=m;++i){
		cin>>u>>v;	
		G[u].push_back(v);
		G[v].push_back(u);
	}
	solve();
	return 0;
}